Как можно решить неравенство 2^(x+2) - 2^(x+3) - 2^(x+4) > 5^(x+1) - 5^(x+2)?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями и логарифмами решение неравенства алгебра 11 класс 2^(x+2) 5^(x+1) неравенства с показателями Новый

Для решения неравенства 2^(x+2) - 2^(x+3) - 2^(x+4) > 5^(x+1) - 5^(x+2) начнем с упрощения обеих частей неравенства.

Сначала упростим левую часть:

• Запишем 2^(x+3) и 2^(x+4) через 2^(x+2):
• 2^(x+3) = 2^(x+2) * 2
• 2^(x+4) = 2^(x+2) * 4
• Теперь подставим это в левую часть:
• 2^(x+2) - 2^(x+2) * 2 - 2^(x+2) * 4 = 2^(x+2) - 2^(x+2) * (2 + 4)
• Это упрощается до: 2^(x+2) - 2^(x+2) * 6 = 2^(x+2) * (1 - 6) = -5 * 2^(x+2)

Теперь у нас есть:

-5 * 2^(x+2) > 5^(x+1) - 5^(x+2)

Теперь упростим правую часть:

• Запишем 5^(x+2) через 5^(x+1):
• 5^(x+2) = 5^(x+1) * 5
• Теперь подставим это в правую часть:
• 5^(x+1) - 5^(x+1) * 5 = 5^(x+1) * (1 - 5) = -4 * 5^(x+1)

Теперь у нас есть неравенство:

-5 * 2^(x+2) > -4 * 5^(x+1)

Умножим обе части неравенства на -1, не забывая изменить знак неравенства:

5 * 2^(x+2) < 4 * 5^(x+1)

Теперь упростим неравенство:

• Разделим обе части на 5:

2^(x+2) < (4/5) * 5^(x+1)

• Упрощаем правую часть:

2^(x+2) < 4 * 5^(x)

Теперь можно выразить 2^(x+2) через 2^x:

2^2 * 2^x < 4 * 5^x

4 * 2^x < 4 * 5^x

Теперь делим обе части на 4 (поскольку 4 > 0, знак неравенства не изменится):

2^x < 5^x

Теперь мы можем разделить обе части на 5^x (поскольку 5^x > 0 для всех x):

(2/5)^x < 1

Теперь, чтобы решить это неравенство, нужно учитывать, что (2/5) < 1. Это неравенство выполняется, когда x > 0. Таким образом, мы получаем:

x > 0

Итак, решением неравенства является:

x > 0