Как можно решить неравенство f(|2х+7|) > f(|x-3|), если известно, что функция y = f(x) убывает на всей числовой прямой R?

Алгебра 11 класс Неравенства с модулями и функции решение неравенства алгебра 11 класс функция убывает f(|2x+7|) > f(|x-3|) неравенства в алгебре Новый

Для решения неравенства f(|2x+7|) > f(|x-3|) в условиях, что функция y = f(x) убывает на всей числовой прямой R, нужно учесть свойства убывающей функции.

Шаг 1: Понимание свойств убывающей функции

• Если функция f(x) убывает, то для любых a и b, таких что a < b, выполняется неравенство f(a) > f(b).

Шаг 2: Применение свойств к нашему неравенству

Мы имеем неравенство f(|2x+7|) > f(|x-3|). Поскольку функция f убывает, это неравенство будет выполняться, когда аргумент |2x+7| меньше аргумента |x-3|.

Шаг 3: Запись нового неравенства

Следовательно, мы можем записать:

|2x+7| < |x-3|.

Шаг 4: Решение неравенства с модулями

Теперь нам нужно решить неравенство |2x+7| < |x-3|. Для этого рассмотрим два случая:

• Случай 1: 2x + 7 >= 0 и x - 3 >= 0 (т.е. x >= 3).
• Случай 2: 2x + 7 < 0 и x - 3 < 0 (т.е. x < -7/2).
• Случай 3: 2x + 7 >= 0 и x - 3 < 0 (т.е. -7/2 <= x < 3).
• Случай 4: 2x + 7 < 0 и x - 3 >= 0 (т.е. нет таких x, так как это противоречие).

Теперь рассмотрим каждый из случаев:

1. Для случая 1:
   • Неравенство становится 2x + 7 < x - 3.
   • Решаем: 2x - x < -3 - 7, т.е. x < -10. Но x >= 3, значит, нет решений.
2. Для случая 2:
   • Неравенство становится -(2x + 7) < -(x - 3).
   • Решаем: -2x - 7 < -x + 3, т.е. -2x + x < 3 + 7, т.е. -x < 10, т.е. x > -10.
   • Но x < -7/2, значит, x > -10 и x < -7/2. Решение: -10 < x < -7/2.
3. Для случая 3:
   • Неравенство становится 2x + 7 < -(x - 3).
   • Решаем: 2x + 7 < -x + 3, т.е. 2x + x < 3 - 7, т.е. 3x < -4, т.е. x < -4/3.
   • Но x должен быть в интервале -7/2 <= x < 3. Значит, x < -4/3 и -7/2 <= x < 3. Решение: -7/2 <= x < -4/3.

Шаг 5: Объединение решений

Объединив все найденные решения, мы получаем:

• Решение 1: -10 < x < -7/2.
• Решение 2: -7/2 <= x < -4/3.

Таким образом, окончательное решение неравенства f(|2x+7|) > f(|x-3|) будет:

x ∈ (-10, -4/3).