Чтобы решить неравенство √(2x + 14) > x + 3, следуем определенным шагам:

1. Определим область допустимых значений:
   • Подкоренное выражение (2x + 14) должно быть неотрицательным, то есть:
   • 2x + 14 ≥ 0.
   • Решим это неравенство:
   • 2x ≥ -14
   • x ≥ -7.
   • Таким образом, область допустимых значений: x ≥ -7.
2. Квадрат обеих сторон:
   • Теперь, чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат:
   • (√(2x + 14))^2 > (x + 3)^2.
   • Это дает нам:
   • 2x + 14 > (x + 3)(x + 3).
   • Раскроем скобки:
   • 2x + 14 > x^2 + 6x + 9.
   • Переносим все в одну сторону:
   • 0 > x^2 + 6x + 9 - 2x - 14.
   • Упрощаем:
   • 0 > x^2 + 4x - 5.
   • Или:
   • x^2 + 4x - 5 < 0.
3. Находим корни квадратного уравнения:
   • Решим уравнение x^2 + 4x - 5 = 0 с помощью дискриминанта:
   • D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.
   • Корни уравнения:
   • x1 = (-b + √D) / 2a = (-4 + 6) / 2 = 1;
   • x2 = (-b - √D) / 2a = (-4 - 6) / 2 = -5.
4. Анализируем знак выражения:
   • Корни -5 и 1 делят числовую прямую на три промежутка:
   • (-∞, -5), (-5, 1), (1, +∞).
   • Теперь проверим знак выражения x^2 + 4x - 5 в каждом из этих промежутков:
   • 1. Для x < -5 (например, x = -6):
   • (-6)^2 + 4*(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0.
   • 2. Для -5 < x < 1 (например, x = 0):
   • 0^2 + 4*0 - 5 = -5 < 0.
   • 3. Для x > 1 (например, x = 2):
   • (2)^2 + 4*2 - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0.
5. Записываем ответ:
   • Неравенство x^2 + 4x - 5 < 0 выполняется на промежутке (-5, 1).
   • Также учитываем область допустимых значений x ≥ -7.
   • Таким образом, окончательное решение:
   • x ∈ (-5, 1).

Это и есть решение данного неравенства!