Как можно решить следующее неравенство и уравнение:
log3(x+7) < или = log3(4-2x)?

Также, каким образом найти решения уравнения:
|2x-1|=|x+3|?

И как решить уравнение:
sin2x=√3 cosx?

Алгебра 11 класс Неравенства и уравнения с логарифмами, абсолютными величинами и тригонометрическими функциями неравенство логарифм уравнение модуль решение тригонометрическое уравнение логарифмическое неравенство алгебра 11 класс решение уравнений методы решения неравенств алгебраические уравнения Новый

Давайте разберем каждое из предложенных вами вопросов по порядку.

1. Решение неравенства: log3(x+7) ≤ log3(4-2x)

Для решения этого неравенства сначала необходимо понять, что логарифмы с одинаковым основанием (в данном случае 3) сохраняют порядок. Это значит, что если логарифмы равны, то и их аргументы также равны, при условии, что аргументы положительны.

1. Сначала определим область определения:
   • x + 7 > 0 → x > -7
   • 4 - 2x > 0 → 2x < 4 → x < 2
2. Теперь, поскольку логарифмы равны, можем записать неравенство: x + 7 ≤ 4 - 2x
3. Решим это неравенство:
   • Переносим все члены в одну сторону: x + 2x ≤ 4 - 7
   • Объединяем подобные: 3x ≤ -3
   • Делим обе стороны на 3: x ≤ -1
4. Теперь объединяем с областью определения: -7 < x ≤ -1

Таким образом, решение неравенства: -7 < x ≤ -1.

2. Решение уравнения: |2x - 1| = |x + 3|

Для решения уравнения с модулями, нужно рассмотреть все возможные случаи, в зависимости от того, какие выражения могут быть положительными или отрицательными.

1. Случай 1: 2x - 1 ≥ 0 и x + 3 ≥ 0
   • Тогда уравнение становится: 2x - 1 = x + 3
   • Решаем: 2x - x = 3 + 1 → x = 4
2. Случай 2: 2x - 1 ≥ 0 и x + 3 < 0
   • Тогда уравнение становится: 2x - 1 = -(x + 3)
   • Решаем: 2x - 1 = -x - 3 → 3x = -2 → x = -2/3
3. Случай 3: 2x - 1 < 0 и x + 3 ≥ 0
   • Тогда уравнение становится: -(2x - 1) = x + 3
   • Решаем: -2x + 1 = x + 3 → 3x = -2 → x = -2/3
4. Случай 4: 2x - 1 < 0 и x + 3 < 0
   • Тогда уравнение становится: -(2x - 1) = -(x + 3)
   • Решаем: -2x + 1 = -x - 3 → -x = -4 → x = 4

Теперь проверим, какие значения подходят под условия:

• x = 4 подходит под условия первого случая.
• x = -2/3 подходит под условия второго и третьего случаев.

Таким образом, решения уравнения: x = 4 и x = -2/3.

3. Решение уравнения: sin(2x) = √3 cos(x)

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Тогда наше уравнение можно записать так:

2sin(x)cos(x) = √3 cos(x)

Теперь выделим cos(x):

1. Если cos(x) ≠ 0, можем разделить обе стороны на cos(x): 2sin(x) = √3
2. Решим это уравнение:
   • sin(x) = √3/2
   • Решения: x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ, где k – целое число.
3. Если cos(x) = 0, то x = π/2 + kπ, где k – целое число.

Таким образом, общее решение уравнения: x = π/3 + 2kπ, x = 2π/3 + 2kπ, x = π/2 + kπ (где k – целое число).

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!