2025-02-08 12:21:08
Как можно решить следующее неравенство и уравнение:
log3(x+7) < или = log3(4-2x)?
Также, каким образом найти решения уравнения:
|2x-1|=|x+3|?
И как решить уравнение:
sin2x=√3 cosx?
Алгебра11 классНеравенства и уравнения с логарифмами, абсолютными величинами и тригонометрическими функцияминеравенство логарифмуравнение модульрешение тригонометрическое уравнениелогарифмическое неравенствоалгебра 11 классрешение уравненийметоды решения неравенствалгебраические уравнения
2025-02-08 12:21:29
Давайте разберем каждое из предложенных вами вопросов по порядку.
1. Решение неравенства: log3(x+7) ≤ log3(4-2x)Для решения этого неравенства сначала необходимо понять, что логарифмы с одинаковым основанием (в данном случае 3) сохраняют порядок. Это значит, что если логарифмы равны, то и их аргументы также равны, при условии, что аргументы положительны.
- Сначала определим область определения:
- x + 7 > 0 → x > -7
- 4 - 2x > 0 → 2x < 4 → x < 2
- Теперь, поскольку логарифмы равны, можем записать неравенство: x + 7 ≤ 4 - 2x
- Решим это неравенство:
- Переносим все члены в одну сторону: x + 2x ≤ 4 - 7
- Объединяем подобные: 3x ≤ -3
- Делим обе стороны на 3: x ≤ -1
- Теперь объединяем с областью определения: -7 < x ≤ -1
Таким образом, решение неравенства: -7 < x ≤ -1.
2. Решение уравнения: |2x - 1| = |x + 3|Для решения уравнения с модулями, нужно рассмотреть все возможные случаи, в зависимости от того, какие выражения могут быть положительными или отрицательными.
- Случай 1: 2x - 1 ≥ 0 и x + 3 ≥ 0
- Тогда уравнение становится: 2x - 1 = x + 3
- Решаем: 2x - x = 3 + 1 → x = 4
- Случай 2: 2x - 1 ≥ 0 и x + 3 < 0
- Тогда уравнение становится: 2x - 1 = -(x + 3)
- Решаем: 2x - 1 = -x - 3 → 3x = -2 → x = -2/3
- Случай 3: 2x - 1 < 0 и x + 3 ≥ 0
- Тогда уравнение становится: -(2x - 1) = x + 3
- Решаем: -2x + 1 = x + 3 → 3x = -2 → x = -2/3
- Случай 4: 2x - 1 < 0 и x + 3 < 0
- Тогда уравнение становится: -(2x - 1) = -(x + 3)
- Решаем: -2x + 1 = -x - 3 → -x = -4 → x = 4
Теперь проверим, какие значения подходят под условия:
- x = 4 подходит под условия первого случая.
- x = -2/3 подходит под условия второго и третьего случаев.
Таким образом, решения уравнения: x = 4 и x = -2/3.
3. Решение уравнения: sin(2x) = √3 cos(x)Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулой двойного угла для синуса:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Тогда наше уравнение можно записать так:
2sin(x)cos(x) = √3 cos(x)Теперь выделим cos(x):
- Если cos(x) ≠ 0, можем разделить обе стороны на cos(x): 2sin(x) = √3
- Решим это уравнение:
- sin(x) = √3/2
- Решения: x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ, где k – целое число.
- Если cos(x) = 0, то x = π/2 + kπ, где k – целое число.
Таким образом, общее решение уравнения: x = π/3 + 2kπ, x = 2π/3 + 2kπ, x = π/2 + kπ (где k – целое число).
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
