Давайте разберем каждое из этих выражений, применяя свойства корней. Мы будем использовать несколько основных свойств:

• Свойство 1: √a * √b = √(a * b)
• Свойство 2: n√(a^m) = a^(m/n)
• Свойство 3: n√a + n√a = 2 * n√a (если выражения одинаковые)

Теперь перейдем к каждому выражению:

1. ⁴√4 * ⁴√4:

   Мы можем воспользоваться свойством 1:

   ⁴√4 * ⁴√4 = ⁴√(4 * 4) = ⁴√16.

   Теперь найдем ⁴√16. Поскольку 16 = 2^4, получаем:

   ⁴√16 = 2.

2. ³√135 × ³√25:

   По свойству 1:

   ³√135 × ³√25 = ³√(135 * 25).

   Теперь найдем произведение: 135 * 25 = 3375.

   Теперь находим ³√3375. Заметим, что 3375 = 15^3, тогда ³√3375 = 15.

3. ⁵√2⁵ × 7² * ⁵√7³:

   Сначала разберем ⁵√2⁵ и ⁵√7³:

   ⁵√2⁵ = 2 и ⁵√7³ = 7^(3/5).

   Теперь подставим в выражение:

   2 * 7² * 7^(3/5) = 2 * 49 * 7^(3/5).

   Теперь 49 = 7², значит:

   2 * 7² * 7^(3/5) = 2 * 7^(2 + 3/5) = 2 * 7^(10/5 + 3/5) = 2 * 7^(13/5).

4. ⁶√5¹⁰ × ⁶√2¹² * 5²:

   Сначала найдем корни:

   ⁶√5¹⁰ = 5^(10/6) = 5^(5/3) и ⁶√2¹² = 2^(12/6) = 2^(2).

   Теперь подставим: 5^(5/3) * 2² * 5² = 5^(5/3 + 2) * 2² = 5^(5/3 + 6/3) * 2² = 5^(11/3) * 4.

5. ³√√17 + 3 × ³√√17 - 3:

   Здесь видим, что ³√√17 = ³√(17^(1/2)) = 17^(1/6).

   Теперь подставим:

   17^(1/6) + 3 * 17^(1/6) - 3 = 4 * 17^(1/6) - 3.

6. ³√8 - √37 * ³√8 + √37:

   Здесь ³√8 = 2. Подставим:

   2 - √37 * 2 + √37 = 2 - 2√37 + √37 = 2 - √37.

Таким образом, мы разобрали каждое выражение, применяя свойства корней. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!