Как можно упростить выражение, где в числителе содержится log8 + lg18, а в знаменателе 2lg2 + lg3?

Алгебра 11 класс Упрощение логарифмических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс логарифмы решение логарифмических уравнений свойства логарифмов Новый

Чтобы упростить выражение, в котором в числителе содержится log8 + lg18, а в знаменателе 2lg2 + lg3, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

Сначала мы можем преобразовать логарифмы, используя свойства логарифмов. Напомним, что:

• log_a(b) = log_c(b) / log_c(a), где c — это основание, которое мы выбираем (обычно 10 или e).
• log(a * b) = log(a) + log(b)
• log(a / b) = log(a) - log(b)

Шаг 2: Преобразуем числитель

В числителе у нас log8 + lg18. Мы можем преобразовать log8:

• log8 = log(2^3) = 3 * log2.

Теперь у нас есть:

числитель = 3 * log2 + lg18.

Теперь преобразуем lg18:

• lg18 = log(2 * 9) = log2 + log9 = log2 + 2 * log3.

Теперь подставим это в числитель:

числитель = 3 * log2 + (log2 + 2 * log3) = 4 * log2 + 2 * log3.

Шаг 3: Преобразуем знаменатель

Теперь перейдем к знаменателю 2lg2 + lg3:

• 2lg2 = 2 * log2.
• lg3 = log3.

Таким образом, знаменатель можно записать как:

знаменатель = 2 * log2 + log3.

Шаг 4: Записываем полное выражение

Теперь у нас есть:

выражение = (4 * log2 + 2 * log3) / (2 * log2 + log3).

Шаг 5: Упрощаем выражение

Теперь мы можем упростить это выражение. Разделим числитель и знаменатель на log2:

выражение = (4 + 2 * log3 / log2) / (2 + log3 / log2).

Обозначим log3 / log2 как k. Тогда:

выражение = (4 + 2k) / (2 + k).

Шаг 6: Итог

Таким образом, упрощенное выражение будет:

(4 + 2k) / (2 + k), где k = log3 / log2.

Это и есть окончательный результат упрощения данного выражения.