Как можно вычислить без таблиц следующее выражение: cos п/11 + cos 3п/11 + cos 5п/11 + cos 7п/11 + cos 9п/11?

Алгебра 11 класс Сумма косинусов алгебра 11 класс косинус тригонометрические функции вычисление выражение сумма косинусов формулы без таблиц математика Новый

Чтобы вычислить выражение cos(π/11) + cos(3π/11) + cos(5π/11) + cos(7π/11) + cos(9π/11), мы можем использовать свойства тригонометрических функций и некоторые формулы.

Сначала мы заметим, что мы имеем дело с суммой косинусов, которые представляют собой углы, равные нечетным кратным π/11. Для упрощения расчетов можно использовать формулу суммы косинусов:

• Сумма косинусов можно выразить через синусы:
• Сначала мы можем воспользоваться формулой:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b)/2) * cos((a - b)/2)

Однако в данном случае, учитывая количество членов, будет удобнее использовать более общий подход. Мы можем рассмотреть сумму cos(π/11) + cos(3π/11) + cos(5π/11) + cos(7π/11) + cos(9π/11) как часть более общей структуры.

Мы знаем, что:

• Сумма всех косинусов, при условии, что углы равномерно распределены, может быть выражена через синусы.
• Конкретно, в нашем случае:

Мы можем выразить данную сумму как:

2sin(π/11) * (cos(π/11) + cos(3π/11) + cos(5π/11) + cos(7π/11) + cos(9π/11)) / (2sin(π/11))

Теперь, используя формулы для преобразования произведения на сумму, мы можем разложить каждый из членов суммы. В результате, мы можем заметить, что:

- 2sin(π/11) * cos(3π/11) = -sin(2π/11) + sin(4π/11)

- 2sin(π/11) * cos(5π/11) = -sin(4π/11) + sin(6π/11)

- 2sin(π/11) * cos(7π/11) = -sin(6π/11) + sin(8π/11)

- 2sin(π/11) * cos(9π/11) = -sin(8π/11) + sin(10π/11)

Таким образом, после упрощения, мы получаем:

sin(10π/11) / (2sin(2π/11))

Зная, что sin(10π/11) = sin(π - 10π/11) = sin(π/11), мы можем подставить значение и упростить выражение:

sin(π/11) / (2sin(2π/11))

В результате, мы получаем, что сумма равна:

1/2

Таким образом, окончательный ответ на выражение cos(π/11) + cos(3π/11) + cos(5π/11) + cos(7π/11) + cos(9π/11) равен 1/2.