Как можно вычислить частные производные функции z = ln(cos(x/y))?

Алгебра 11 класс Частные производные функций нескольких переменных вычисление частных производных функция z ln(cos(x/y)) алгебра 11 класс производные в алгебре Новый

Чтобы вычислить частные производные функции z = ln(cos(x/y)), нам нужно использовать правила дифференцирования, включая правило цепочки и производные элементарных функций.

Давайте начнем с вычисления частной производной по x, а затем по y.

1. Частная производная по x:

Для нахождения частной производной z по x, мы будем рассматривать y как константу. Начнем с применения правила цепочки.

• Запишем производную z по x:
• z = ln(cos(x/y))
• Используем правило производной логарифма: d(ln(u))/dx = (1/u) * (du/dx), где u = cos(x/y).
• Теперь найдем производную u = cos(x/y) по x:
• Для этого используем правило производной косинуса: d(cos(v))/dx = -sin(v) * (dv/dx), где v = x/y.
• Найдём dv/dx. Поскольку y считается константой, dv/dx = 1/y.
• Теперь подставим это значение: du/dx = -sin(x/y) * (1/y).
• Теперь подставим все в формулу для z:
• d(z)/dx = (1/cos(x/y)) * (-sin(x/y) * (1/y)) = -sin(x/y) / (y * cos(x/y)).

Таким образом, частная производная z по x равна:

dz/dx = -sin(x/y) / (y * cos(x/y)).

2. Частная производная по y:

Теперь найдем частную производную z по y, при этом x будем считать константой.

• Запишем производную z по y:
• z = ln(cos(x/y))
• Используем правило цепочки:
• d(ln(u))/dy = (1/u) * (du/dy), где u = cos(x/y).
• Теперь найдем производную u = cos(x/y) по y:
• Используем правило производной косинуса: d(cos(v))/dy = -sin(v) * (dv/dy), где v = x/y.
• Теперь найдем dv/dy. Здесь v = x/y, и производная dv/dy = -x/y^2.
• Подставим это значение: du/dy = -sin(x/y) * (-x/y^2) = (x/y^2) * sin(x/y).
• Теперь подставим все в формулу для z:
• d(z)/dy = (1/cos(x/y)) * ((x/y^2) * sin(x/y)) = (x * sin(x/y)) / (y^2 * cos(x/y)).

Таким образом, частная производная z по y равна:

dz/dy = (x * sin(x/y)) / (y^2 * cos(x/y)).

В итоге мы нашли обе частные производные:

• dz/dx = -sin(x/y) / (y * cos(x/y)),
• dz/dy = (x * sin(x/y)) / (y^2 * cos(x/y)).