Как можно вычислить корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 3X^3 - 10x^2 - 9x + 4 = 0?

Алгебра 11 класс Корни многочленов вычислить корень уравнения сумма корней уравнение 3X^3 - 10x^2 - 9x + 4 алгебра 11 класс решение кубического уравнения Новый

Для решения уравнения 3X^3 - 10x^2 - 9x + 4 = 0 можно использовать несколько методов, включая метод подбора, метод деления многочленов и формулу Виета. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Проверка возможных рациональных корней

Сначала мы можем попробовать найти рациональные корни уравнения, используя теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, возможные рациональные корни можно получить, деля делители свободного члена на делители старшего коэффициента.

• Свободный член: 4 (делители: ±1, ±2, ±4)
• Старший коэффициент: 3 (делители: ±1, ±3)

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4, ±1/3, ±2/3, ±4/3.

Шаг 2: Подбор корней

Теперь мы подставим эти значения в уравнение, чтобы проверить, является ли одно из них корнем.

• Подставим x = 1:

3(1)^3 - 10(1)^2 - 9(1) + 4 = 3 - 10 - 9 + 4 = -12 (не корень)

• Подставим x = -1:

3(-1)^3 - 10(-1)^2 - 9(-1) + 4 = -3 - 10 + 9 + 4 = 0 (корень)

Мы нашли один корень: x = -1.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли один корень, мы можем разделить исходный многочлен на (x + 1) с помощью деления многочленов.

В результате деления мы получим квадратный многочлен:

3x^3 - 10x^2 - 9x + 4 = (x + 1)(3x^2 - 13x + 4).

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение 3x^2 - 13x + 4 = 0. Мы можем использовать дискриминант:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 * 3 * 4 = 169 - 48 = 121.

Дискриминант положительный, значит, у уравнения два различных корня.

Шаг 5: Нахождение корней

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:

• x1 = ( -b + sqrt(D) ) / (2a) = (13 + 11) / 6 = 4.
• x2 = ( -b - sqrt(D) ) / (2a) = (13 - 11) / 6 = 1/3.

Шаг 6: Подведение итогов

Таким образом, у нашего уравнения 3X^3 - 10x^2 - 9x + 4 = 0 три корня:

• x1 = -1,
• x2 = 4,
• x3 = 1/3.

Эти корни можно проверить, подставив их обратно в исходное уравнение.