Как можно вычислить площадь области, заключенной между следующими кривыми: y=x^2-x, y=0, x=0 и x=2?

Алгебра 11 класс Интегралы и нахождение площадей фигур вычисление площади кривые y=x^2-x y=0 x=0 x=2 алгебра 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между кривыми y = x^2 - x, y = 0, x = 0 и x = 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

1. Найдем точки пересечения кривых y = x^2 - x и y = 0.

   Для этого решим уравнение:

   x^2 - x = 0.

   Мы можем вынести x за скобки:

   x(x - 1) = 0.

   Таким образом, у нас есть два корня:

   • x = 0
   • x = 1
2. Определим интеграл для нахождения площади.

   Площадь между кривыми можно найти с помощью интеграла:

   Площадь = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) dx.

   В нашем случае верхняя функция - это y = x^2 - x, а нижняя функция - y = 0. Мы будем интегрировать от x = 0 до x = 2.

3. Запишем интеграл:

   Площадь = ∫ (x^2 - x) dx от 0 до 2.

4. Вычислим интеграл:

   Сначала найдем неопределенный интеграл:

   ∫ (x^2 - x) dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 + C.

   Теперь подставим пределы интегрирования:

   Площадь = [(1/3)(2^3) - (1/2)(2^2)] - [(1/3)(0^3) - (1/2)(0^2)].

5. Подсчитаем значения:

   Подставляем x = 2:

   (1/3)(8) - (1/2)(4) = (8/3) - 2 = (8/3) - (6/3) = (2/3).

   Подставляя x = 0, мы получаем 0.

   Таким образом, площадь = (2/3) - 0 = 2/3.

Итак, площадь области, заключенной между кривыми, равна 2/3.