Как можно вычислить площадь треугольника, который образуется касательной к графику функции h(x) = -ln(x) в точке с абсциссой 1 и осями координат?

Алгебра 11 класс Геометрические задачи с использованием производной площадь треугольника касательная график функции h(x) = -ln(x) точка с абсциссой 1 оси координат Новый

Чтобы вычислить площадь треугольника, образованного касательной к графику функции h(x) = -ln(x) в точке с абсциссой 1 и осями координат, следуйте следующим шагам:

1. Найдите значение функции в точке x = 1:
   • Подставьте x = 1 в функцию h(x):
   • h(1) = -ln(1) = 0, так как натуральный логарифм от 1 равен 0.
2. Найдите производную функции h(x):
   • Производная функции h(x) = -ln(x) равна h'(x) = -1/x.
   • Подставьте x = 1 в производную:
   • h'(1) = -1/1 = -1.
3. Запишите уравнение касательной:
   • Уравнение касательной в точке (1, 0) имеет вид:
   • y - h(1) = h'(1)(x - 1).
   • Подставляем значения:
   • y - 0 = -1(x - 1), или y = -x + 1.
4. Найдите точки пересечения касательной с осями координат:
   • Пересечение с осью Y: Подставьте x = 0 в уравнение касательной:
   • y = -0 + 1 = 1. Точка пересечения с осью Y: (0, 1).
   • Пересечение с осью X: Подставьте y = 0 в уравнение касательной:
   • 0 = -x + 1, отсюда x = 1. Точка пересечения с осью X: (1, 0).
5. Найдите площадь треугольника:
   • Треугольник образован вершинами (0, 0), (0, 1) и (1, 0).
   • Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
   • Площадь = (1/2) * основание * высота.
   • В данном случае основание = 1 (расстояние от (0, 0) до (1, 0)), высота = 1 (расстояние от (0, 0) до (0, 1)).
   • Таким образом, Площадь = (1/2) * 1 * 1 = 1/2.

Итак, площадь треугольника, образованного касательной к графику функции h(x) = -ln(x) в точке с абсциссой 1 и осями координат, равна 1/2.