Как можно вычислить значение выражения arctg(ctg(3pi/5)), учитывая область значения аркфункций?

Алгебра 11 класс Аркфункции и их свойства вычислить значение выражения arctg ctg 3pi/5 область значений аркфункции алгебра 11 класс Новый

Для вычисления значения выражения arctg(ctg(3pi/5)), давайте сначала разберемся с функцией ctg (которая является котангенсом) и ее значением при аргументе 3pi/5.

• Шаг 1: Найдем значение ctg(3pi/5).
• Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу:
• ctg(x) = cos(x) / sin(x).
• Для x = 3pi/5:
• cos(3pi/5) = -cos(pi/5) (так как 3pi/5 находится во втором квадранте, где косинус отрицательный).
• sin(3pi/5) = sin(pi/5) (в синусе знак не меняется во втором квадранте).
• Таким образом, ctg(3pi/5) можно выразить как:
• ctg(3pi/5) = -cos(pi/5) / sin(pi/5).

Теперь, чтобы упростить дальнейшие вычисления, нам нужно знать значение котангенса:

• Шаг 2: Вычислим значение ctg(3pi/5).
• Согласно тригонометрическим значениям:
• cos(pi/5) и sin(pi/5) имеют определенные значения, но для нашего случая важно, что ctg(3pi/5) будет отрицательным.

Теперь, когда мы знаем, что ctg(3pi/5) < 0, можем перейти к следующему шагу:

• Шаг 3: Найдем значение arctg(ctg(3pi/5)).
• Функция arctg определяет угол, соответствующий данному значению тангенса. Поскольку ctg(3pi/5) < 0, это значит, что arctg(ctg(3pi/5)) будет находиться в области значений функции arctg.
• Область значений arctg - это все действительные числа от -pi/2 до pi/2.
• Поскольку cotangent и tangent являются взаимно обратными, мы можем найти arctg(ctg(3pi/5)) как:
• arctg(ctg(3pi/5)) = -pi/5 (так как -pi/5 соответствует углу, где cotangent равен ctg(3pi/5)).

Ответ: Значение выражения arctg(ctg(3pi/5)) равно -pi/5.