Как можно выяснить, есть ли у данного уравнения целочисленный корень, и если он есть, то как найти все целочисленные корни для следующих уравнений:

1. a) x³ + 6, x² + 11x + 6 = 0
2. b) x³ - 2x² - 2x - 3 = 0
3. c) x³ + 2x² - 7x + 4 = 0
4. d) x³ - 5x² + 8x - 4 = 0

Алгебра 11 класс Целочисленные корни многочленов целочисленный корень уравнение алгебра методы нахождения корней примеры уравнений X3 целые числа решение уравнений Новый

Чтобы выяснить, есть ли у данного уравнения целочисленный корень, можно воспользоваться теорией делителей. Согласно этой теории, если у уравнения есть целочисленный корень, то он должен быть делителем свободного члена. Для многочлена вида ax^n + bx^(n-1) + ... + c = 0 целочисленные корни могут быть найдены среди делителей свободного члена c (в данном случае это число без переменной x).

Давайте рассмотрим каждое из предложенных уравнений по порядку:

1. Уравнение a): x³ + 6 = 0 и x² + 11x + 6 = 0

   1. Для уравнения x³ + 6 = 0 свободный член равен 6. Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6.

   2. Проверим каждый делитель:

   • x = -1: (-1)³ + 6 = -1 + 6 = 5 (не корень)
   • x = 1: 1³ + 6 = 1 + 6 = 7 (не корень)
   • x = -2: (-2)³ + 6 = -8 + 6 = -2 (не корень)
   • x = 2: 2³ + 6 = 8 + 6 = 14 (не корень)
   • x = -3: (-3)³ + 6 = -27 + 6 = -21 (не корень)
   • x = 3: 3³ + 6 = 27 + 6 = 33 (не корень)
   • x = -6: (-6)³ + 6 = -216 + 6 = -210 (не корень)
   • x = 6: 6³ + 6 = 216 + 6 = 222 (не корень)

   Таким образом, у уравнения x³ + 6 = 0 нет целочисленных корней.

   3. Для уравнения x² + 11x + 6 = 0 свободный член равен 6. Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6.

   Проверим:

   • x = -1: (-1)² + 11(-1) + 6 = 1 - 11 + 6 = -4 (не корень)
   • x = 1: 1² + 11(1) + 6 = 1 + 11 + 6 = 18 (не корень)
   • x = -2: (-2)² + 11(-2) + 6 = 4 - 22 + 6 = -12 (не корень)
   • x = 2: 2² + 11(2) + 6 = 4 + 22 + 6 = 32 (не корень)
   • x = -3: (-3)² + 11(-3) + 6 = 9 - 33 + 6 = -18 (не корень)
   • x = 3: 3² + 11(3) + 6 = 9 + 33 + 6 = 48 (не корень)
   • x = -6: (-6)² + 11(-6) + 6 = 36 - 66 + 6 = -24 (не корень)
   • x = 6: 6² + 11(6) + 6 = 36 + 66 + 6 = 108 (не корень)

   Таким образом, у уравнения x² + 11x + 6 = 0 также нет целочисленных корней.

2. Уравнение b): x³ - 2x² - 2x - 3 = 0

   Свободный член равен -3. Делители -3: ±1, ±3.

   Проверим:

   • x = -1: (-1)³ - 2(-1)² - 2(-1) - 3 = -1 - 2 + 2 - 3 = -4 (не корень)
   • x = 1: 1³ - 2(1)² - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 2 - 3 = -6 (не корень)
   • x = -3: (-3)³ - 2(-3)² - 2(-3) - 3 = -27 - 18 + 6 - 3 = -42 (не корень)
   • x = 3: 3³ - 2(3)² - 2(3) - 3 = 27 - 18 - 6 - 3 = 0 (корень)

   Таким образом, целочисленный корень у данного уравнения - это x = 3.

3. Уравнение c): x³ + 2x² - 7x + 4 = 0

   Свободный член равен 4. Делители 4: ±1, ±2, ±4.

   Проверим:

   • x = -1: (-1)³ + 2(-1)² - 7(-1) + 4 = -1 + 2 + 7 + 4 = 12 (не корень)
   • x = 1: 1³ + 2(1)² - 7(1) + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0 (корень)
   • x = -2: (-2)³ + 2(-2)² - 7(-2) + 4 = -8 + 8 + 14 + 4 = 18 (не корень)
   • x = 2: 2³ + 2(2)² - 7(2) + 4 = 8 + 8 - 14 + 4 = 6 (не корень)
   • x = -4: (-4)³ + 2(-4)² - 7(-4) + 4 = -64 + 32 + 28 + 4 = 0 (корень)
   • x = 4: 4³ + 2(4)² - 7(4) + 4 = 64 + 32 - 28 + 4 = 72 (не корень)

   Таким образом, целочисленные корни у данного уравнения - это x = 1 и x = -4.

4. Уравнение d): x³ - 5x² + 8x - 4 = 0

   Свободный член равен -4. Делители -4: ±1, ±2, ±4.

   Проверим:

   • x = -1: (-1)³ - 5(-1)² + 8(-1) - 4 = -1 - 5 - 8 - 4 = -18 (не корень)
   • x = 1: 1³ - 5(1)² + 8(1) - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0 (корень)
   • x = -2: (-2)³ - 5(-2)² + 8(-2) - 4 = -8 - 20 - 16 - 4 = -48 (не корень)
   • x = 2: 2³ - 5(2)² + 8(2) - 4 = 8 - 20 + 16 - 4 = 0 (корень)
   • x = -4: (-4)³ - 5(-4)² + 8(-4) - 4 = -64 - 80 - 32 - 4 = -180 (не корень)
   • x = 4: 4³ - 5(4)² + 8(4) - 4 = 64 - 80 + 32 - 4 = 12 (не корень)

   Таким образом, целочисленные корни у данного уравнения - это x = 1 и x = 2.

В итоге, целочисленные корни для уравнений:

• a) Нет целочисленных корней
• b) x = 3
• c) x = 1 и x = -4
• d) x = 1 и x = 2