Как найти длину дуги кривой, заданной уравнением y^2=(x+1)^3, когда x=4?

Алгебра 11 класс Длина дуги кривой длина дуги кривая уравнение алгебра 11 класс y^2=(x+1)^3 x=4 Новый

Чтобы найти длину дуги кривой, заданной уравнением y^2 = (x + 1)^3, в точке, где x = 4, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение y при x = 4:
   • Подставим x = 4 в уравнение:
   • y^2 = (4 + 1)^3 = 5^3 = 125.
   • Следовательно, y = ±√125 = ±5√5.
2. Найти производную dy/dx:
   • Для этого сначала выразим y через x: y = ±√((x + 1)^3).
   • Теперь найдем производную y по x. Используем правило дифференцирования:
   • dy/dx = (1/2) * (x + 1)^(-1/2) * 3(x + 1)^2 * (1) = (3/2) * (x + 1)^(3/2).
3. Найти длину дуги:
   • Формула для длины дуги кривой y = f(x) на интервале [a, b] выглядит так:
   • L = ∫[a, b] √(1 + (dy/dx)^2) dx.
   • В нашем случае мы будем интегрировать от x = 1 до x = 4, так как на этом интервале у нас есть значения y.
   • Подставим dy/dx в формулу:
   • dy/dx = (3/2)(x + 1)^(3/2), следовательно, (dy/dx)^2 = (9/4)(x + 1)^3.
   • Теперь подставим это в формулу длины дуги:
   • L = ∫[1, 4] √(1 + (9/4)(x + 1)^3) dx.
4. Вычислить интеграл:
   • Этот интеграл может потребовать численного метода или специальных функций для вычисления, так как он может быть сложным для аналитического решения.
   • Используйте численные методы, такие как метод трапеций или Симпсона, чтобы вычислить значение интеграла.

Таким образом, длина дуги кривой, заданной уравнением y^2 = (x + 1)^3, в точке x = 4 может быть найдена с помощью интегрирования, и, возможно, потребуется численное вычисление для получения окончательного значения.