Чтобы найти корни уравнения f'(x) = 0 для функции f(x) = 8x^3 - 3x^2 + 25, нам нужно сначала вычислить производную этой функции. Давайте рассмотрим шаги по решению этой задачи.

1. Найдите производную функции f(x).

   Используем правила дифференцирования для каждой части функции:

   • Производная 8x^3 равна 24x^2 (по правилу степени).
   • Производная -3x^2 равна -6x.
   • Производная константы 25 равна 0.

   Таким образом, производная функции f(x) будет:

   f'(x) = 24x^2 - 6x.

2. Приравняйте производную к нулю.

   Теперь мы ставим производную равной нулю:

   24x^2 - 6x = 0.

3. Решите уравнение.

   Для решения уравнения можно вынести общий множитель:

   6x(4x - 1) = 0.

   Теперь мы можем решить это уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:

   • 6x = 0 → x = 0.
   • 4x - 1 = 0 → 4x = 1 → x = 1/4.
4. Запишите корни уравнения.

   Таким образом, мы нашли два корня уравнения f'(x) = 0:

   • x = 0
   • x = 1/4

В результате, корни уравнения f'(x) = 0 для функции f(x) = 8x^3 - 3x^2 + 25 равны x = 0 и x = 1/4.