Как найти корни уравнения с комплексными числами: z^4 - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с комплексными числами корни уравнения комплексные числа z^4 - 1 = 0 алгебра 11 класс решение уравнений методы нахождения корней Новый

Чтобы найти корни уравнения с комплексными числами z^4 - 1 = 0, следуем нескольким шагам.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду.

Мы можем записать уравнение в виде:

z^4 = 1

Шаг 2: Найдем корни уравнения.

Корни уравнения z^n = 1, где n - натуральное число, можно найти с помощью формулы:

z_k = cos(2πk/n) + i * sin(2πk/n)

где k = 0, 1, 2, ..., n-1.

В нашем случае n = 4, поэтому мы будем искать корни для k = 0, 1, 2, 3.

Шаг 3: Подставляем значения k.

• Для k = 0:

z_0 = cos(2π*0/4) + i * sin(2π*0/4) = cos(0) + i * sin(0) = 1 + 0i = 1

• Для k = 1:

z_1 = cos(2π*1/4) + i * sin(2π*1/4) = cos(π/2) + i * sin(π/2) = 0 + i = i

• Для k = 2:

z_2 = cos(2π*2/4) + i * sin(2π*2/4) = cos(π) + i * sin(π) = -1 + 0i = -1

• Для k = 3:

z_3 = cos(2π*3/4) + i * sin(2π*3/4) = cos(3π/2) + i * sin(3π/2) = 0 - i = -i

Шаг 4: Записываем все корни.

Таким образом, корни уравнения z^4 - 1 = 0:

• z_0 = 1
• z_1 = i
• z_2 = -1
• z_3 = -i

Итак, корни уравнения z^4 - 1 = 0 - это 1, i, -1 и -i.