Чтобы найти обратную матрицу к данной матрице размера n x n с использованием метода элементарных преобразований, мы будем использовать следующий алгоритм:

1. Запишите исходную матрицу и единичную матрицу.

   Начнем с того, что мы запишем данную матрицу A и единичную матрицу I того же размера, которая будет находиться справа от матрицы A. Это будет выглядеть так:

       [ A | I ]
       

2. Применяйте элементарные преобразования к строкам.

   Теперь мы будем применять элементарные преобразования к строкам, чтобы преобразовать матрицу A в единичную матрицу. Элементарные преобразования могут быть следующими:

   • Перестановка двух строк.
   • Умножение строки на ненулевое число.
   • Прибавление к одной строке кратной другой строки.

   Каждое преобразование, которое мы применяем к матрице A, также нужно применять к матрице I, чтобы сохранить равенство.

3. Продолжайте преобразования.

   Продолжайте использовать элементарные преобразования, пока не получите единичную матрицу слева. В конечном итоге, если A обратима, вы получите:

       [ I | B ]
       

   где B — это искомая обратная матрица.

4. Проверьте результат.

   После получения матрицы B, полезно проверить, что произведение матрицы A на матрицу B дает единичную матрицу:

       A * B = I
       

Теперь давайте применим этот метод к вашим примерам.

Пример 1.4.22: Матрица A = (1 0 0 ... 0 0, 1 1 0 ... 0 0, 0 1 1 ... 0 0, ..., 0 0 0 ... 1 1, 0 0 0 ... 0 1)

Следуя описанному алгоритму, мы будем использовать элементарные преобразования для приведения этой матрицы к единичной. Например, мы можем вычесть первую строку из второй, затем вторую из третьей и так далее, пока не получим единичную матрицу слева.

Пример 1.4.23: Аналогично, начнем с матрицы A и будем выполнять элементарные преобразования для получения единичной матрицы.

Пример 1.4.24: Здесь мы видим, что матрица имеет много единиц, и мы можем использовать аналогичный подход для получения обратной матрицы.

Пример 1.4.25: В этом случае, также следуем алгоритму, применяя элементарные преобразования к строкам, чтобы получить единичную матрицу.

Таким образом, используя метод элементарных преобразований, мы можем найти обратные матрицы для всех приведенных примеров, следуя описанным шагам.