Как найти площадь области, ограниченной графиком функции y=8x^3, вертикальными линиями x=2 и x=4, а также осью абсцисс?

Алгебра 11 класс Интегралы и площади фигур под графиками функций площадь области график функции y=8x^3 вертикальные линии x=2 x=4 ось абсцисс алгебра 11 класс интегралы определенный интеграл методы нахождения площади Новый

Чтобы найти площадь области, ограниченной графиком функции y=8x^3, вертикальными линиями x=2 и x=4, а также осью абсцисс, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определим функцию и границы интегрирования.

   Наша функция: y = 8x^3. Мы будем интегрировать эту функцию от x = 2 до x = 4.

2. Запишем определенный интеграл.

   Площадь области будет равна определенному интегралу от функции y = 8x^3 на интервале от 2 до 4:

   Площадь = ∫(от 2 до 4) 8x^3 dx.

3. Найдём неопределённый интеграл функции.

   Чтобы найти интеграл 8x^3, мы воспользуемся правилом интегрирования:

   ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

   В нашем случае n = 3, поэтому:

   ∫8x^3 dx = 8 * (x^(3+1))/(3+1) = 8 * (x^4)/4 = 2x^4.

4. Вычислим определённый интеграл.

   Теперь подставим границы интегрирования:

   ∫(от 2 до 4) 8x^3 dx = [2x^4] (от 2 до 4) = 2*(4^4) - 2*(2^4).

   Теперь вычислим значения:

   • 4^4 = 256, поэтому 2*(4^4) = 2*256 = 512.
   • 2^4 = 16, поэтому 2*(2^4) = 2*16 = 32.

   Теперь вычтем:

   512 - 32 = 480.

5. Запишем окончательный ответ.

   Таким образом, площадь области, ограниченной графиком функции y=8x^3, вертикальными линиями x=2 и x=4, а также осью абсцисс, равна 480.