Как найти предел, когда x стремится к 0, для выражения (tg^2(3x))/(2x^2) и определить эквивалентные бесконечно малые величины?

Алгебра 11 класс Пределы и бесконечно малые величины предел x стремится к 0 tg^2(3x) 2x^2 эквивалентные бесконечно малые величины Новый

Чтобы найти предел выражения (tg^2(3x))/(2x^2) при x стремящемся к 0, мы можем воспользоваться свойствами пределов и некоторыми известными приближениями для малых углов.

Шаг 1: Применение приближения для тангенса

При малых значениях x, тангенс можно аппроксимировать следующим образом:

tg(x) ≈ x. Таким образом, для tg(3x) мы можем написать:

tg(3x) ≈ 3x.

Следовательно:

tg^2(3x) ≈ (3x)^2 = 9x^2.

Шаг 2: Подстановка в предел

Теперь подставим это приближение в наш предел:

lim (x -> 0) (tg^2(3x))/(2x^2) ≈ lim (x -> 0) (9x^2)/(2x^2).

Шаг 3: Упрощение выражения

Теперь мы можем упростить выражение:

• 9x^2/(2x^2) = 9/2.

Шаг 4: Вычисление предела

Теперь, когда мы упростили выражение, мы можем найти предел:

lim (x -> 0) (9/2) = 9/2.

Шаг 5: Определение эквивалентных бесконечно малых величин

Эквивалентные бесконечно малые величины в данном случае можно определить следующим образом:

• tg(3x) эквивалентно 3x при x стремящемся к 0.
• tg^2(3x) эквивалентно (3x)^2 = 9x^2 при x стремящемся к 0.

Таким образом, мы нашли предел и определили эквивалентные бесконечно малые величины. Предел равен 9/2, а эквивалентные бесконечно малые величины — это tg(3x) и 3x.