Как найти производную функции f(x) = 1/(sinx + cosx)?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции алгебра 11 класс f(x) = 1/(sinx + cosx) Новый

Чтобы найти производную функции f(x) = 1/(sin(x) + cos(x)), мы будем использовать правило дифференцирования дробей, а именно правило производной частного.

Функция f(x) может быть записана как:

f(x) = g(x)/h(x),

где g(x) = 1, а h(x) = sin(x) + cos(x).

Правило производной частного гласит:

Если f(x) = g(x)/h(x), то f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

Теперь найдем производные g(x) и h(x):

• g(x) = 1: производная g'(x) = 0, так как производная константы равна нулю.
• h(x) = sin(x) + cos(x): производная h'(x) = cos(x) - sin(x).

Теперь подставим найденные производные в формулу:

1. g'(x) * h(x) = 0 * (sin(x) + cos(x)) = 0.
2. g(x) * h'(x) = 1 * (cos(x) - sin(x)) = cos(x) - sin(x).

Теперь подставим все в формулу для производной:

f'(x) = (0 - (cos(x) - sin(x))) / (sin(x) + cos(x))^2.

Упрощаем:

f'(x) = (sin(x) - cos(x)) / (sin(x) + cos(x))^2.

Таким образом, производная функции f(x) = 1/(sin(x) + cos(x)) равна:

f'(x) = (sin(x) - cos(x)) / (sin(x) + cos(x))^2.