Давайте разберем оба задания по порядку.

1. Найдем производную функции y = 1/cos(2x) + cos(π/3) в точке x0 = π/8.

Сначала упростим нашу функцию. Мы знаем, что cos(π/3) — это постоянная величина, равная 1/2. Поэтому функция упрощается до:

y = 1/cos(2x) + 1/2.

Теперь найдем производную y по x. Для этого воспользуемся правилом производной для функции вида 1/u, где u = cos(2x).

Шаг 1: Найдем производную 1/cos(2x).

• Используем правило производной для дроби: (1/u)' = -u'/u².
• Здесь u = cos(2x), тогда u' = -sin(2x) * 2 (по правилу цепочки).
• Подставим это в формулу производной: y' = -(-sin(2x) * 2) / (cos(2x))² = 2sin(2x) / (cos(2x))².

Шаг 2: Найдем значение производной в точке x0 = π/8.

Подставим x = π/8 в производную:

• sin(2 * π/8) = sin(π/4) = √2/2,
• cos(2 * π/8) = cos(π/4) = √2/2.

Теперь подставим эти значения в производную:

y'(π/8) = 2 * (√2/2) / (√2/2)² = 2 * (√2/2) / (2/4) = 2 * (√2/2) / (1/2) = 2 * √2.

Ответ: y'(π/8) = 2√2.

2. Теперь решим неравенство f'(x) ≤ 0 для функции f(x) = (x-2)³ * (x+4).

Сначала найдем производную функции f(x). Мы будем использовать правило произведения:

• f'(x) = (u * v)', где u = (x-2)³ и v = (x+4).
• По правилу произведения: f' = u'v + uv'.

Шаг 1: Найдем u' и v'.

• u' = 3(x-2)²,
• v' = 1.

Шаг 2: Подставим в формулу производной:

f'(x) = 3(x-2)²(x+4) + (x-2)³(1).

Теперь упростим это выражение:

f'(x) = 3(x-2)²(x+4) + (x-2)³ = (x-2)²[3(x+4) + (x-2)] = (x-2)²(4x + 10).

Шаг 3: Теперь решим неравенство (x-2)²(4x + 10) ≤ 0.

Первый множитель (x-2)² всегда неотрицателен (он равен нулю только при x = 2). Следовательно, неравенство будет выполняться, когда второй множитель (4x + 10) ≤ 0.

Решим это неравенство:

• 4x + 10 ≤ 0,
• 4x ≤ -10,
• x ≤ -10/4,
• x ≤ -2.5.

Таким образом, неравенство f'(x) ≤ 0 выполняется для x ≤ -2.5. Однако, поскольку (x-2)² = 0 при x = 2, это значение не входит в решение неравенства.

Ответ: интервал решения неравенства f'(x) ≤ 0 — x ≤ -2.5.