Как найти промежутки монотонности и экстремумы функции f(x) = (x^2 + 4) / x?

Алгебра 11 класс Промежутки монотонности и экстремумы функции промежутки монотонности экстремумы функции алгебра 11 класс анализ функции производная функции нахождение экстремумов функции и их свойства Новый

Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции f(x) = (x^2 + 4) / x, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, найдем производную функции f(x). Используем правило деления для нахождения производной:

• Если u(x) = x^2 + 4 и v(x) = x, то f(x) = u(x) / v(x).
• Производная f'(x) вычисляется по формуле:

f'(x) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

• u'(x) = 2x,
• v'(x) = 1.

Подставим это в формулу:

f'(x) = (x * 2x - (x^2 + 4) * 1) / x^2 = (2x^2 - x^2 - 4) / x^2 = (x^2 - 4) / x^2.

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся, когда f'(x) = 0 или когда f'(x) не определена.

• Решим уравнение f'(x) = 0:
• (x^2 - 4) = 0.

Это уравнение можно решить как:

• x^2 = 4,
• x = ±2.

Теперь определим, где f'(x) не определена. Производная не определена, когда x = 0, так как в этом случае мы делим на 0.

Шаг 3: Определим знаки производной

Теперь у нас есть критические точки x = -2, x = 0 и x = 2. Мы разделим числовую ось на интервалы:

• (-∞, -2),
• (-2, 0),
• (0, 2),
• (2, +∞).

Теперь проверим знак производной на каждом из этих интервалов:

• Для x < -2: например, x = -3, f'(-3) = ((-3)^2 - 4) / (-3)^2 = (9 - 4) / 9 > 0 (возрастает).
• Для -2 < x < 0: например, x = -1, f'(-1) = ((-1)^2 - 4) / (-1)^2 = (1 - 4) / 1 < 0 (убывает).
• Для 0 < x < 2: например, x = 1, f'(1) = (1 - 4) / 1 < 0 (убывает).
• Для x > 2: например, x = 3, f'(3) = (9 - 4) / 9 > 0 (возрастает).

Шаг 4: Составим таблицу монотонности

Теперь мы можем составить таблицу монотонности:

• (-∞, -2): возрастает
• (-2, 0): убывает
• (0, 2): убывает
• (2, +∞): возрастает

Шаг 5: Определим экстремумы

На основании изменений знака производной можно сделать вывод:

• На x = -2: максимум (переход от возрастания к убыванию).
• На x = 2: минимум (переход от убывания к возрастанию).

Шаг 6: Найдем значения функции в экстремумах

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• f(-2) = ((-2)^2 + 4) / (-2) = (4 + 4) / (-2) = 8 / (-2) = -4.
• f(2) = (2^2 + 4) / 2 = (4 + 4) / 2 = 8 / 2 = 4.

Таким образом, мы нашли промежутки монотонности и экстремумы функции:

• Экстремум: максимум в точке x = -2, значение f(-2) = -4.
• Экстремум: минимум в точке x = 2, значение f(2) = 4.

Промежутки монотонности:

• (-∞, -2): возрастает
• (-2, 0): убывает
• (0, 2): убывает
• (2, +∞): возрастает