Как найти расстояние между плоскостями 2x - 3y + 6z - 14 = 0 и 4x - 6y + 12z + 21 = 0?

Алгебра 11 класс Расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями алгебра 11 класс плоскости в алгебре уравнения плоскостей геометрия алгебры Новый

Чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. **Проверка параллельности плоскостей**

Плоскости заданы уравнениями:

• Плоскость 1: 2x - 3y + 6z - 14 = 0
• Плоскость 2: 4x - 6y + 12z + 21 = 0

Сначала найдем нормальные векторы этих плоскостей. Нормальный вектор плоскости можно взять из коэффициентов перед x, y и z в уравнении плоскости.

• Нормальный вектор плоскости 1: (2, -3, 6)
• Нормальный вектор плоскости 2: (4, -6, 12)

Теперь проверим, являются ли эти векторы коллинеарными. Для этого мы можем выразить один вектор через другой:

Вектор 2 = 2 * Вектор 1. Это значит, что плоскости параллельны.

2. **Приведение уравнений плоскостей к каноническому виду**

Теперь упростим уравнения плоскостей. Для этого мы можем привести их к нормальному виду:

• Плоскость 1: 2x - 3y + 6z = 14
• Плоскость 2: 4x - 6y + 12z = -21

Теперь мы можем разделить уравнение плоскости 2 на 2:

• Плоскость 2: 2x - 3y + 6z = -10.5

3. **Нахождение расстояния между плоскостями**

Расстояние между двумя параллельными плоскостями можно найти по формуле:

d = |D1 - D2| / ||N||

где D1 и D2 - свободные члены уравнений плоскостей, а N - нормальный вектор.

В нашем случае:

• D1 = 14
• D2 = -10.5
• N = (2, -3, 6)

Теперь найдем длину нормального вектора:

||N|| = sqrt(2^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(4 + 9 + 36) = sqrt(49) = 7

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

d = |14 - (-10.5)| / 7 = |14 + 10.5| / 7 = |24.5| / 7 = 24.5 / 7 ≈ 3.5

Таким образом, расстояние между плоскостями составляет примерно 3.5.