Как найти решение системы уравнений: log2(9-2^x)=3-x и x^log2x+2=8?

Алгебра 11 класс Системы логарифмических уравнений решение системы уравнений Логарифмическое уравнение алгебра 11 класс x в степени методы решения уравнений графики функций свойства логарифмов Новый

Чтобы решить систему уравнений:

1. log2(9 - 2^x) = 3 - x
2. x^log2(x) + 2 = 8

Начнем с первого уравнения:

1. log2(9 - 2^x) = 3 - x

Первым делом, преобразуем логарифмическое уравнение. Используем определение логарифма:

Если log2(a) = b, то a = 2^b. В нашем случае это будет:

9 - 2^x = 2^(3 - x)

Теперь упростим уравнение:

9 - 2^x = 8 * 2^(-x) = 8 / 2^x

Умножим обе стороны на 2^x, чтобы избавиться от деления:

(9 - 2^x) * 2^x = 8

Раскроем скобки:

9 * 2^x - (2^x)^2 = 8

Запишем уравнение в стандартной форме:

(2^x)^2 - 9 * 2^x + 8 = 0

Обозначим 2^x как y. Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 9y + 8 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * 8 = 81 - 32 = 49

Корни уравнения будут:

y1 = (9 + sqrt(49)) / 2 = (9 + 7) / 2 = 8

y2 = (9 - sqrt(49)) / 2 = (9 - 7) / 2 = 1

Теперь вернемся к переменной x:

1) Если y = 8, то 2^x = 8, что дает x = 3.

2) Если y = 1, то 2^x = 1, что дает x = 0.

Итак, из первого уравнения мы получили два возможных значения для x: 3 и 0.

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2. x^log2(x) + 2 = 8

Упростим это уравнение:

x^log2(x) = 8 - 2 = 6.

Теперь рассмотрим оба полученных значения x:

1) Для x = 3:

3^log2(3) = 3^(log2(3)) = 6 (так как log2(3) = log2(3)). Это значение подходит.

2) Для x = 0:

0^log2(0) не определено, поэтому это значение не подходит.

Таким образом, единственное решение системы уравнений:

x = 3