Как найти решение уравнения arccos(8x² - 6x - 1) = arccos(4x² - x + 8)?

Алгебра 11 класс Уравнения с арккосинусом решение уравнения arccos алгебра 11 класс нахождение корней математические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение arccos(8x² - 6x - 1) = arccos(4x² - x + 8), нам нужно воспользоваться свойствами функции арккосинуса. Основное свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что если arccos(a) = arccos(b), то это означает, что a = b или a = -b (при условии, что a и b находятся в пределах допустимых значений для функции arccos).

Шаги решения:

1. Запишем уравнение, используя свойства арккосинуса:
• 8x² - 6x - 1 = 4x² - x + 8
• или
• 8x² - 6x - 1 = -(4x² - x + 8)
2. Решим первое уравнение:
• Переносим все члены в одну сторону:
8x² - 6x - 1 - 4x² + x - 8 = 0
• Соберем подобные члены:
4x² - 5x - 9 = 0
• Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 4 * (-9) = 25 + 144 = 169.
• Корни уравнения:
x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (5 ± 13) / 8.
• Находим корни:
• x1 = (5 + 13) / 8 = 18 / 8 = 2.25
• x2 = (5 - 13) / 8 = -8 / 8 = -1.
• Теперь решим второе уравнение:
• 8x² - 6x - 1 = -4x² + x - 8
• Переносим все члены в одну сторону:
8x² + 4x² - 6x - x - 1 + 8 = 0
• Соберем подобные члены:
12x² - 7x + 7 = 0
• Находим дискриминант:
• D = (-7)² - 4 * 12 * 7 = 49 - 336 = -287.
• Так как дискриминант отрицательный, корней у этого уравнения нет.
• Теперь мы имеем только корни из первого уравнения: x1 = 2.25 и x2 = -1.
• Проверим, находятся ли эти значения в области определения функции arccos:
• Для arccos(a) область определения: -1 ≤ a ≤ 1.
• Подставим x1 и x2 в выражения 8x² - 6x - 1 и 4x² - x + 8, чтобы проверить, находятся ли они в пределах [-1, 1].

Таким образом, окончательные решения уравнения arccos(8x² - 6x - 1) = arccos(4x² - x + 8) будут те значения x, которые удовлетворяют условиям области определения. Проверьте каждое значение, и вы получите окончательный ответ.