Как найти решение уравнения x в степени 12 равно 1?

Алгебра 11 класс Уравнения с комплексными корнями решение уравнения алгебра 11 класс уравнение x в степени 12 нахождение корней уравнения математические методы решения Новый

Чтобы решить уравнение x в степени 12 равно 1, то есть:

x^12 = 1

мы можем рассмотреть, какие значения x могут удовлетворять этому уравнению. Давайте разберем шаги решения:

1. Понимание уравнения: Уравнение x^12 = 1 говорит о том, что x в степени 12 должно давать 1. Это значит, что x является 12-й корнем из 1.
2. Нахождение корней: Все 12-е корни из 1 можно найти, используя формулу комплексных чисел. 1 можно представить в виде комплексного числа в тригонометрической форме как cos(0) + i*sin(0).
3. Формула для корней: Общая формула для нахождения n-го корня из комплексного числа выглядит так:
   • x_k = cos(2πk/n) + i*sin(2πk/n), где k = 0, 1, 2, ..., n-1.
4. Применение формулы: В нашем случае n = 12. Подставляем это значение в формулу:
   • x_k = cos(2πk/12) + i*sin(2πk/12) для k = 0, 1, 2, ..., 11.
5. Вычисление корней: Теперь вычислим 12 корней:
   • k = 0: x_0 = cos(0) + i*sin(0) = 1
   • k = 1: x_1 = cos(π/6) + i*sin(π/6) = √3/2 + i/2
   • k = 2: x_2 = cos(π/3) + i*sin(π/3) = 1/2 + i√3/2
   • k = 3: x_3 = cos(π/2) + i*sin(π/2) = i
   • k = 4: x_4 = cos(2π/3) + i*sin(2π/3) = -1/2 + i√3/2
   • k = 5: x_5 = cos(5π/6) + i*sin(5π/6) = -√3/2 + i/2
   • k = 6: x_6 = cos(π) + i*sin(π) = -1
   • k = 7: x_7 = cos(7π/6) + i*sin(7π/6) = -√3/2 - i/2
   • k = 8: x_8 = cos(4π/3) + i*sin(4π/3) = -1/2 - i√3/2
   • k = 9: x_9 = cos(3π/2) + i*sin(3π/2) = -i
   • k = 10: x_10 = cos(5π/3) + i*sin(5π/3) = 1/2 - i√3/2
   • k = 11: x_11 = cos(11π/6) + i*sin(11π/6) = √3/2 - i/2
6. Запись ответов: Таким образом, 12 корней уравнения x^12 = 1 будут:
   • 1
   • √3/2 + i/2
   • 1/2 + i√3/2
   • i
   • -1/2 + i√3/2
   • -√3/2 + i/2
   • -1
   • -√3/2 - i/2
   • -1/2 - i√3/2
   • -i
   • 1/2 - i√3/2
   • √3/2 - i/2

Таким образом, у нас есть 12 различных значений для x, которые являются решениями уравнения x^12 = 1.