Как найти решения для следующих алгебраических уравнений:

1. sin(3x-π/4) = -1/2
2. Разложите на множители: sin²x + 3sin x cos x = 0.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения и разложение на множители решения алгебраических уравнений sin(3x-π/4) = -1/2 разложение на множители sin²x + 3sin x cos x = 0 алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем оба задания по порядку.

1. Решение уравнения sin(3x - π/4) = -1/2:

Для начала, нам нужно найти углы, для которых синус равен -1/2. Синус принимает значение -1/2 в следующих квадрантах:

• 3-й квадрант: 7π/6
• 4-й квадрант: 11π/6

Таким образом, общее решение для уравнения sin(θ) = -1/2 имеет вид:

• θ = 7π/6 + 2kπ, где k - любое целое число
• θ = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число

Теперь, подставим вместо θ выражение 3x - π/4:

• 3x - π/4 = 7π/6 + 2kπ
• 3x - π/4 = 11π/6 + 2kπ

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

1. Для первого уравнения:
• 3x = 7π/6 + π/4 + 2kπ
• 3x = 7π/6 + 3π/12 + 2kπ = 7π/6 + 9π/12 = 7π/6 + 2π/3 = 29π/18 + 2kπ
• x = (29π/18 + 2kπ) / 3 = 29π/54 + (2kπ)/3
2. Для второго уравнения:
• 3x = 11π/6 + π/4 + 2kπ
• 3x = 11π/6 + 3π/12 = 11π/6 + 9π/12 = 11π/6 + 2π/3 = 41π/18 + 2kπ
• x = (41π/18 + 2kπ) / 3 = 41π/54 + (2kπ)/3

Таким образом, общее решение уравнения sin(3x - π/4) = -1/2:

• x = 29π/54 + (2kπ)/3, где k - любое целое число
• x = 41π/54 + (2kπ)/3, где k - любое целое число

2. Разложение на множители выражения sin²x + 3sin x cos x = 0:

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно sin x. Для удобства, обозначим sin x как y:

y² + 3y cos x = 0

Теперь вынесем общий множитель y:

y(y + 3 cos x) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

1. y = 0, что означает sin x = 0. Это уравнение имеет решения:
• x = nπ, где n - любое целое число.
2. y + 3 cos x = 0, что означает sin x + 3 cos x = 0. Это уравнение можно переписать как sin x = -3 cos x.

Для нахождения решений уравнения sin x = -3 cos x, делим обе стороны на cos x (при условии, что cos x не равен 0):

tan x = -3

Таким образом, общее решение для этого уравнения:

• x = arctan(-3) + πk, где k - любое целое число.

Итак, мы разложили выражение на множители и нашли решения для обоих заданий.