Как найти решения для следующих уравнений:

1. 5^x - 4 = 25^2
2. 3^(1+x) - 2 * 3^(x-2) = 25
3. 36^x - 4 * 6^x - 12 = 0

Алгебра 11 класс Уравнения с показателями и логарифмы решение уравнений алгебра 11 класс уравнения с показателями уравнения с переменной методы решения алгебраических уравнений Новый

Давайте разберем каждое из уравнений по отдельности и найдем их решения шаг за шагом.

1. Уравнение: 5^x - 4 = 25^2

Сначала упростим правую часть уравнения:

• 25 можно представить как 5^2, тогда 25^2 = (5^2)^2 = 5^4.

Теперь уравнение выглядит так:

5^x - 4 = 5^4.

Переносим 5^4 на левую сторону:

5^x - 5^4 = 4.

Теперь мы можем вынести общий множитель:

5^x - 5^4 = 5^4(5^(x-4) - 1) = 4.

Теперь нам нужно решить уравнение:

5^(x-4) - 1 = 4/5^4.

Решим это уравнение:

5^(x-4) = 4/625.

Теперь возьмем логарифм обеих сторон:

x - 4 = log_5(4/625).

Теперь находим x:

x = log_5(4/625) + 4.

2. Уравнение: 3^(1+x) - 2 * 3^(x-2) = 25

Упростим уравнение:

• Перепишем 3^(1+x) как 3 * 3^x.
• Перепишем 2 * 3^(x-2) как 2/9 * 3^x.

Уравнение теперь выглядит так:

3 * 3^x - (2/9) * 3^x = 25.

Вынесем 3^x за скобки:

3^x (3 - 2/9) = 25.

Теперь упростим скобки:

3 - 2/9 = 27/9 - 2/9 = 25/9.

Теперь у нас есть:

3^x * (25/9) = 25.

Разделим обе стороны на 25/9:

3^x = 25 / (25/9) = 9.

Теперь решим это уравнение:

3^x = 3^2.

Следовательно, x = 2.

3. Уравнение: 36^x - 4 * 6^x - 12 = 0

Здесь мы можем сделать замену. Заметим, что 36 = 6^2, тогда 36^x = (6^2)^x = 6^(2x).

Теперь уравнение можно записать так:

6^(2x) - 4 * 6^x - 12 = 0.

Давайте сделаем замену: пусть y = 6^x. Тогда 6^(2x) = y^2.

Теперь уравнение становится:

y^2 - 4y - 12 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64.

Теперь находим корни:

• y1 = (4 + sqrt(64)) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6.
• y2 = (4 - sqrt(64)) / 2 = (4 - 8) / 2 = -2.

Поскольку y = 6^x, а 6^x всегда положительно, мы отбрасываем y2 = -2.

Теперь решим y = 6:

6^x = 6, следовательно, x = 1.

Таким образом, решения уравнений:

• 1. x = log_5(4/625) + 4.
• 2. x = 2.
• 3. x = 1.