Чтобы найти точку минимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем использовать методы анализа производной. Давайте разберем это по шагам:

1. Найдем первую производную функции.

   Первая производная функции y по x обозначается как y'. Она показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Для функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3, производная будет:

   y' = 3x^2 - 4x + 1.

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Мы решаем уравнение:

   3x^2 - 4x + 1 = 0.

   Это квадратное уравнение, и мы можем использовать дискриминант для его решения:

   D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4.

   Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

   x1 = (4 + √4) / (2 * 3) = (4 + 2) / 6 = 1,

   x2 = (4 - √4) / (2 * 3) = (4 - 2) / 6 = 1/3.

3. Определим, является ли каждая критическая точка минимумом или максимумом.

   Для этого мы используем вторую производную функции. Найдем вторую производную:

   y'' = 6x - 4.

   Теперь подставим критические точки в вторую производную:

   • Для x = 1: y''(1) = 6 * 1 - 4 = 2 (положительное значение, значит, это минимум).
   • Для x = 1/3: y''(1/3) = 6 * (1/3) - 4 = 2 - 4 = -2 (отрицательное значение, значит, это максимум).
4. Таким образом, точка минимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3 находится в x = 1.

   Теперь мы можем найти значение функции в этой точке:

   y(1) = 1^3 - 2*1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3.

   Следовательно, точка минимума функции: (1, 3).

Таким образом, мы нашли, что точка минимума функции y = x^3 - 2x^2 + x + 3 находится в x = 1, и значение функции в этой точке равно 3.