Как определить интервалы возрастания функции f(x) = (x+1)^4 * (x - 7)^3? Прошу предоставить пошаговое разъяснение, не прибегая к помощи чат GPT.

Алгебра 11 класс Промежутки роста и убыли функции интервалы возрастания функция f(x) (x+1)^4 (x-7)^3 алгебра 11 пошаговое разъяснение

Чтобы определить интервалы возрастания функции f(x) = (x+1)^4 * (x - 7)^3, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

Для начала, применим правило произведения. Если у нас есть функция, которая является произведением двух функций u(x) = (x + 1)^4 и v(x) = (x - 7)^3, то производная f'(x) будет вычисляться по формуле:

f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

2. Вычислить производные u'(x) и v'(x).
• u'(x) = 4 * (x + 1)^3 (по правилу дифференцирования степенной функции).
• v'(x) = 3 * (x - 7)^2 (также по правилу дифференцирования степенной функции).
3. Подставить найденные производные в формулу для f'(x).

Теперь подставим u'(x) и v'(x) в формулу:

f'(x) = 4 * (x + 1)^3 * (x - 7)^3 + (x + 1)^4 * 3 * (x - 7)^2.

4. Упростить выражение для f'(x).

Общим множителем в этом выражении будет (x + 1)^3 * (x - 7)^2. Вынесем его за скобки:

f'(x) = (x + 1)^3 * (x - 7)^2 * (4 * (x - 7) + 3 * (x + 1)).

Теперь упростим выражение в скобках:

4 * (x - 7) + 3 * (x + 1) = 4x - 28 + 3x + 3 = 7x - 25.

Таким образом, получаем:

f'(x) = (x + 1)^3 * (x - 7)^2 * (7x - 25).

5. Определить нули производной f'(x).

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, нужно определить, где f'(x) = 0:

• (x + 1)^3 = 0 → x = -1;
• (x - 7)^2 = 0 → x = 7;
• (7x - 25) = 0 → x = 25/7 ≈ 3.57.
6. Построить числовую прямую и отметить полученные нули.

На числовой прямой отметим точки -1, 3.57 и 7. Это делит прямую на 4 интервала:

• (-∞, -1);
• (-1, 25/7);
• (25/7, 7);
• (7, +∞).
7. Проверить знак производной на каждом интервале.

Выберем тестовые точки из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2: f'(-2) = (-1)^3 * (-9)^2 * (-14) < 0 (убывает);
• Для интервала (-1, 25/7), например, x = 0: f'(0) = (1)^3 * (-7)^2 * (-25) < 0 (убывает);
• Для интервала (25/7, 7), например, x = 5: f'(5) = (6)^3 * (-2)^2 * (10) > 0 (возрастает);
• Для интервала (7, +∞), например, x = 8: f'(8) = (9)^3 * (1)^2 * (31) > 0 (возрастает).
8. Записать интервалы возрастания.

На основе анализа мы видим, что функция возрастает на интервалах:

• (25/7, 7);
• (7, +∞).

Таким образом, интервалы возрастания функции f(x) = (x + 1)^4 * (x - 7)^3: (25/7, 7) и (7, +∞).

Первое, что надо сделать найти точки максимума и минимума функции y(x)

Для этого Шаг 1. Найти производную f'(x)=((x+1)^4 * (x - 7)^3)/

f(x)=u(x)*v(x), где u(x)=(x+1)^4 v(x)=(x-7)^3

(u*v)'=u'v+v'u

f'(x)=((x+1)^4 )'* (x - 7)^3+(x+1)^4 * ((x - 7)^3)'=4(x+1)^3*(x-7)^3+(x+1)^4*3(x-7)^2=(x+1)^3(x-7)^2*(4(x-7)+3(x+1)=

=(x+1)^3*(x-7)^2((4x-28+3x+3)=(x+1)^3*(x-7)^2*(7x-25)

Шаг 2. найти точки, где f'(x)=0   

(x+1)^3*(x-7)^2*(7x-25)=0

x1=-1  x2=7  x3=25/7

Шаг 3  отмечаем точки на интервальной прямой.

 

------------------ -1 ----------------------------- 25/7 ------------------ 7 --------------

Шаг 4 на каждом из 4 интервалов находим знак f'(x), для этого подставляем любое значение

из выбранного интервала и смотрим знак f'(x).

f'(-2)=(-2+1)^3*(-2-7)^2*(7*(-2)-25)>0 1-й интервал

f'(0) это 2-й интервал

f'(0)=(0+1)^3*(0-7)^2*(7*0-25)=1^3*(-7)^2*(-25)<0;

f'(4)=(4+1)^3*(4-7)^2*(7*4-25)>0 3-й интервал

f'(8)=(8+1)^3*(8-7)^2*(7*8-25)>0 4-й интервал

 

------- >0----------- -1 -----------------< 0 ------------ 25/7 ----- >0 ------------- 7 ------- > 0-------

Шаг 5 Функция возрастает, если производная строго положительна 

У нас это интерваля 1 и 3 и 4

(-беск. -1) U (25/7;7) U (7;+беск.)