Как определить критические точки функции f( x) = 1/3x^3 - 4x^2 + 15x - 13, выяснить промежутки монотонности, установить область определения и, основываясь на этих данных, схематически изобразить график функции? Также, каким образом можно найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = 3x^2 - 2x^3 + 1 на отрезке [-1: 4]? Кроме того, как оградить прямоугольный участок с трех сторон, если известна общая длина штакетника и ширина этого участка, а S - его площадь? Срочно! Изобразите с графиком, дам 50 БАЛЛОВ.

Алгебра 11 класс Анализ функций и оптимизация критические точки функции промежутки монотонности область определения график функции Наибольшее значение функции наименьшее значение функции ограждение участка площадь прямоугольного участка длина штакетника алгебра 11 класс Новый

Давайте разберем вашу задачу по шагам.

1. Определение критических точек функции f(x) = (1/3)x^3 - 4x^2 + 15x - 13

• Сначала найдем производную функции f'(x). Для этого используем правила дифференцирования:
1. f'(x) = x^2 - 8x + 15
• Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:
1. x^2 - 8x + 15 = 0
2. Решим это уравнение через дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4*1*15 = 64 - 60 = 4.
3. Корни уравнения: x1 = (8 + √4)/2 = 5, x2 = (8 - √4)/2 = 3.

2. Выяснение промежутков монотонности

• Теперь определим знаки производной на интервалах, которые делятся критическими точками (3 и 5):
1. Интервал (-∞, 3): выбираем x = 0, f'(0) = 15 > 0 (возрастающая).
2. Интервал (3, 5): выбираем x = 4, f'(4) = -1 < 0 (убывающая).
3. Интервал (5, ∞): выбираем x = 6, f'(6) = 15 > 0 (возрастающая).

3. Установление области определения

• Функция f(x) является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: x ∈ R.

4. Схематическое изображение графика функции

• График будет иметь точки минимум в x = 5 и максимум в x = 3.
• Функция возрастает на интервалах (-∞, 3) и (5, ∞), и убывает на интервале (3, 5).
• Схематически мы можем изобразить график, показывая, что он поднимается до x = 3, опускается до x = 5 и снова поднимается.

5. Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 1 на отрезке [-1, 4]

• Сначала найдем производную: f'(x) = 6x - 6x^2.
• Приравниваем к нулю: 6x(1 - x) = 0, откуда x = 0 и x = 1.
• Теперь проверим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
1. f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6.
2. f(0) = 1.
3. f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
4. f(4) = 3(4)^2 - 2(4)^3 + 1 = 48 - 128 + 1 = -79.
• Наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -79.

6. Ограждение прямоугольного участка

• Пусть ширина участка равна W, а длина L. Площадь S = L * W.
• Общая длина штакетника = 2L + W.
• Если известна площадь S и ширина W, то длину можно выразить как: L = S/W.
• Подставляем в уравнение для длины: 2(S/W) + W = общая длина штакетника.
• Решаем это уравнение для W.

Таким образом, мы разобрали все пункты вашей задачи. Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!