2025-03-16 18:58:12
Как определить критические точки функции f( x) = 1/3x^3 - 4x^2 + 15x - 13, выяснить промежутки монотонности, установить область определения и, основываясь на этих данных, схематически изобразить график функции? Также, каким образом можно найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = 3x^2 - 2x^3 + 1 на отрезке [-1: 4]? Кроме того, как оградить прямоугольный участок с трех сторон, если известна общая длина штакетника и ширина этого участка, а S - его площадь? Срочно! Изобразите с графиком, дам 50 БАЛЛОВ.
Алгебра11 классАнализ функций и оптимизациякритические точки функциипромежутки монотонностиобласть определенияграфик функцииНаибольшее значение функциинаименьшее значение функцииограждение участкаплощадь прямоугольного участкадлина штакетникаалгебра 11 класс
2025-03-16 18:58:31
Давайте разберем вашу задачу по шагам.
1. Определение критических точек функции f(x) = (1/3)x^3 - 4x^2 + 15x - 13
- Сначала найдем производную функции f'(x). Для этого используем правила дифференцирования:
- f'(x) = x^2 - 8x + 15
- Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:
- x^2 - 8x + 15 = 0
- Решим это уравнение через дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4*1*15 = 64 - 60 = 4.
- Корни уравнения: x1 = (8 + √4)/2 = 5, x2 = (8 - √4)/2 = 3.
2. Выяснение промежутков монотонности
- Теперь определим знаки производной на интервалах, которые делятся критическими точками (3 и 5):
- Интервал (-∞, 3): выбираем x = 0, f'(0) = 15 > 0 (возрастающая).
- Интервал (3, 5): выбираем x = 4, f'(4) = -1 < 0 (убывающая).
- Интервал (5, ∞): выбираем x = 6, f'(6) = 15 > 0 (возрастающая).
3. Установление области определения
- Функция f(x) является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: x ∈ R.
4. Схематическое изображение графика функции
- График будет иметь точки минимум в x = 5 и максимум в x = 3.
- Функция возрастает на интервалах (-∞, 3) и (5, ∞),и убывает на интервале (3, 5).
- Схематически мы можем изобразить график, показывая, что он поднимается до x = 3, опускается до x = 5 и снова поднимается.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 3x^2 - 2x^3 + 1 на отрезке [-1, 4]
- Сначала найдем производную: f'(x) = 6x - 6x^2.
- Приравниваем к нулю: 6x(1 - x) = 0, откуда x = 0 и x = 1.
- Теперь проверим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
- f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^3 + 1 = 3 + 2 + 1 = 6.
- f(0) = 1.
- f(1) = 3(1)^2 - 2(1)^3 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
- f(4) = 3(4)^2 - 2(4)^3 + 1 = 48 - 128 + 1 = -79.
- Наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -79.
6. Ограждение прямоугольного участка
- Пусть ширина участка равна W, а длина L. Площадь S = L * W.
- Общая длина штакетника = 2L + W.
- Если известна площадь S и ширина W, то длину можно выразить как: L = S/W.
- Подставляем в уравнение для длины: 2(S/W) + W = общая длина штакетника.
- Решаем это уравнение для W.
Таким образом, мы разобрали все пункты вашей задачи. Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
