Как определить максимальное и минимальное значение функции f (x)=2x^3 - 3x^2 - 12x +1 на интервале [0;3]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функций на заданном промежутке максимальное значение функции минимальное значение функции функция f(x) интервал [0;3] алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 на интервале [0; 3], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.

Для начала находим производную функции f(x), чтобы определить критические точки:

f'(x) = d(2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)/dx = 6x^2 - 6x - 12.

2. Найти критические точки.

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 6x - 12 = 0.

Упростим уравнение, разделив на 6:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь можно разложить это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0.

Таким образом, критические точки: x = 2 и x = -1. Однако, поскольку мы ищем максимумы и минимумы на интервале [0; 3], нас интересует только x = 2.

3. Проверить значения функции в критических точках и на границах интервала.

Теперь нам нужно вычислить значения функции f(x) в критической точке и на границах интервала:

• f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 12(0) + 1 = 1.
• f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 2(8) - 3(4) - 24 + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19.
• f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 1 = 2(27) - 3(9) - 36 + 1 = 54 - 27 - 36 + 1 = -8.
4. Сравнить значения.

Теперь сравним полученные значения:

• f(0) = 1
• f(2) = -19
• f(3) = -8

Максимальное значение функции на интервале [0; 3] равно 1, а минимальное значение равно -19.

Ответ: Максимальное значение функции f(x) на интервале [0; 3] равно 1, минимальное значение равно -19.