Как определить максимальное и минимальное значение функции у = х^3 - 2х^2 + х + 3 на интервале [1; 3/2]?

Алгебра 11 класс Оптимизация функции на отрезке максимальное значение функции минимальное значение функции интервал [1; 3/2] алгебра 11 класс нахождение экстремумов функции Новый

Для определения максимального и минимального значения функции у = х^3 - 2х^2 + х + 3 на заданном интервале [1; 3/2], мы будем следовать следующему алгоритму:

1. Найти производную функции. Это позволит определить критические точки, где функция может принимать максимальные или минимальные значения.
2. Найти критические точки. Это точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Вычислить значения функции в критических точках и на границах интервала. Сравнив эти значения, мы сможем определить максимумы и минимумы.

Теперь давайте пройдемся по каждому из этих шагов:

1. Найдем производную функции:

   Функция у = х^3 - 2х^2 + х + 3. Найдем ее производную:

   у' = 3х^2 - 4х + 1.

2. Найдем критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю:

   3х^2 - 4х + 1 = 0.

   Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4.
   • Корни уравнения: х1 = (4 + √D) / (2 * 3) = (4 + 2) / 6 = 1, х2 = (4 - √D) / (2 * 3) = (4 - 2) / 6 = 1/3.

   Теперь находим, какие из этих корней попадают в интервал [1; 3/2]. Только х1 = 1 является критической точкой в этом интервале.

3. Вычислим значения функции на границах интервала и в критической точке:
   • На границе x = 1: у(1) = 1^3 - 2*1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3.
   • На границе x = 3/2: у(3/2) = (3/2)^3 - 2*(3/2)^2 + (3/2) + 3 = 27/8 - 18/8 + 12/8 + 24/8 = 45/8 = 5.625.
   • В критической точке x = 1: у(1) = 3 (уже посчитано).

Теперь сравним значения:

• у(1) = 3,
• у(3/2) = 5.625.

Таким образом, на интервале [1; 3/2] максимальное значение функции равно 5.625, а минимальное значение равно 3.