Как определить минимальные и максимальные значения функции f(x) = sqrt(5x - x^2) * sin(pi * x / 3)?

Алгебра 11 класс Экстремумы функции минимальные значения функции максимальные значения функции f(x) = sqrt(5x - x^2) sin(pi * x / 3) алгебра 11 класс Новый

Для определения минимальных и максимальных значений функции f(x) = sqrt(5x - x^2) * sin(pi * x / 3) мы будем следовать нескольким шагам. Рассмотрим их подробнее:

Шаг 1: Определение области определения функции

• Сначала найдем область определения функции. У нас есть два выражения: sqrt(5x - x^2) и sin(pi * x / 3).
• Для sqrt(5x - x^2) необходимо, чтобы аргумент под корнем был неотрицательным: 5x - x^2 >= 0.
• Решим неравенство:
1. Перепишем его в виде: x(5 - x) >= 0.
2. Это неравенство выполняется, когда x = 0 или x = 5.
3. Проверим промежутки: x < 0, 0 < x < 5, x > 5. Получаем, что неравенство выполняется для 0 <= x <= 5.
• Таким образом, область определения функции: [0, 5].

Шаг 2: Нахождение производной функции

• Теперь найдем производную f(x) для нахождения критических точек, где могут быть максимумы и минимумы.
• Для этого воспользуемся правилом произведения и цепным правилом:
1. f'(x) = (sqrt(5x - x^2))' * sin(pi * x / 3) + sqrt(5x - x^2) * (sin(pi * x / 3))'.
2. Найдем производную sqrt(5x - x^2): (5 - 2x) / (2 * sqrt(5x - x^2)).
3. Найдем производную sin(pi * x / 3): (pi / 3) * cos(pi * x / 3).
4. Подставим эти производные в f'(x) и упростим, чтобы получить уравнение для нахождения критических точек.

Шаг 3: Поиск критических точек

• Решим уравнение f'(x) = 0 для нахождения критических точек в пределах области определения [0, 5].
• Не забудьте проверить границы области определения: x = 0 и x = 5.

Шаг 4: Анализ критических точек

• После нахождения критических точек, подставим их в исходную функцию f(x), чтобы найти значения функции в этих точках.
• Также подставим границы: f(0) и f(5).

Шаг 5: Сравнение значений

• Сравните все найденные значения f(x) в критических точках и на границах области определения.
• Максимальное значение будет максимальным из всех найденных значений, а минимальное - минимальным.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете определить минимальные и максимальные значения функции f(x) = sqrt(5x - x^2) * sin(pi * x / 3).