Чтобы определить промежутки монотонности функции y = (x^2 - 1)^2 без использования производной, мы можем воспользоваться анализом знаков и свойствами самой функции.

1. Найдем корни функции:

• Для этого решим уравнение (x^2 - 1)^2 = 0.
• Корни этого уравнения находятся, когда x^2 - 1 = 0.
• Решая это, получаем x^2 = 1, что дает x = -1 и x = 1.

Таким образом, у нас есть два корня: x = -1 и x = 1.

2. Разделим область определения на интервалы:

• Интервалы, которые мы получаем, это: (-∞, -1), (-1, 1), (1, +∞).

3. Теперь проверим знак функции на каждом интервале:

• Интервал (-∞, -1): Выберем, например, x = -2.
• Подставляем в функцию: y = ((-2)^2 - 1)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9 (положительно).
• Интервал (-1, 1): Выберем, например, x = 0.
• Подставляем в функцию: y = (0^2 - 1)^2 = (-1)^2 = 1 (положительно).
• Интервал (1, +∞): Выберем, например, x = 2.
• Подставляем в функцию: y = ((2)^2 - 1)^2 = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9 (положительно).

4. Итак, мы видим, что на всех интервалах функция положительна:

• На интервале (-∞, -1) функция положительна.
• На интервале (-1, 1) функция положительна.
• На интервале (1, +∞) функция положительна.

5. Теперь определим поведение функции:

• Функция равна нулю в точках x = -1 и x = 1.
• На интервалах между корнями и за их пределами функция не меняет знак и остается положительной.

Таким образом, функция y = (x^2 - 1)^2 не имеет промежутков монотонности, так как она не убывает и не возрастает в этих интервалах, а просто остается положительной. Однако, в точках x = -1 и x = 1 функция достигает своего минимума, что можно интерпретировать как точки местного минимума.

В итоге, можно сказать, что функция не монотонна, но имеет точки, в которых она принимает минимальные значения.