Как определить промежутки монотонности функции у = х^3 - 3х^2?

Алгебра 11 класс Промежутки монотонности функций промежутки монотонности функция алгебра 11 производная анализ функции х^3 - 3х^2 Новый

Чтобы определить промежутки монотонности функции у = х^3 - 3х^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем искать производную функции и анализировать её знак. Давайте разберем процесс поэтапно.

1. Найдем производную функции.

Производная функции у = х^3 - 3х^2 вычисляется по правилам дифференцирования:

у' = 3х^2 - 6х.

2. Приведем производную к более удобному виду.

Мы можем вынести общий множитель:

у' = 3х(х - 2).

3. Найдем нули производной.

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим у' = 0:

• 3х(х - 2) = 0.
• Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Следовательно, х = 0 или х - 2 = 0, что дает х = 2.
4. Определим знаки производной на промежутках.

Теперь мы определим знаки производной на промежутках, которые образуются точками х = 0 и х = 2. Мы рассмотрим три промежутка:

• (-∞, 0)
• (0, 2)
• (2, +∞)

Теперь выберем тестовые точки из каждого промежутка:

• Для промежутка (-∞, 0): выберем х = -1.
• у'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0. Значит, функция возрастает на этом промежутке.
• Для промежутка (0, 2): выберем х = 1.
• у'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0. Значит, функция убывает на этом промежутке.
• Для промежутка (2, +∞): выберем х = 3.
• у'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0. Значит, функция возрастает на этом промежутке.
5. Сформулируем промежутки монотонности.

На основании анализа знака производной мы можем сделать следующие выводы:

• Функция возрастает на промежутках: (-∞, 0) и (2, +∞).
• Функция убывает на промежутке: (0, 2).

Теперь мы знаем, как определить промежутки монотонности функции у = х^3 - 3х^2. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать!