Для того чтобы определить, сколько корней имеет уравнение f'(x) = g'(x) на промежутке (0; 1,5π), сначала найдем производные функций f(x) и g(x).

Шаг 1: Найдем производные функций.

• Функция f(x) = 32x - 2tg(3x).
• Производная f'(x) = 32 - 2 * (3 * sec^2(3x)) = 32 - 6sec^2(3x).
• Функция g(x) = -2ctg(3x).
• Производная g'(x) = -2 * (-3 * csc^2(3x)) = 6csc^2(3x).

Теперь у нас есть производные:

• f'(x) = 32 - 6sec^2(3x)
• g'(x) = 6csc^2(3x)

Шаг 2: Запишем уравнение f'(x) = g'(x).

Теперь подставим производные в уравнение:

32 - 6sec^2(3x) = 6csc^2(3x).

Шаг 3: Преобразуем уравнение.

Воспользуемся тем, что csc^2(3x) = 1/sin^2(3x) и sec^2(3x) = 1/cos^2(3x). Подставим эти выражения в уравнение:

32 - 6(1/cos^2(3x)) = 6(1/sin^2(3x)).

Умножим все уравнение на sin^2(3x) * cos^2(3x) для избавления от дробей:

32sin^2(3x)cos^2(3x) - 6sin^2(3x) = 6cos^2(3x).

Шаг 4: Приведем подобные слагаемые.

Перепишем уравнение:

32sin^2(3x)cos^2(3x) - 6sin^2(3x) - 6cos^2(3x) = 0.

Шаг 5: Используем тригонометрические тождества.

Мы можем использовать тождество sin^2(3x) + cos^2(3x) = 1 для дальнейшего упрощения, но это уравнение сложно решить явно. Поэтому лучше всего использовать численные методы или графический подход.

Шаг 6: Исследуем количество корней на промежутке (0; 1,5π).

Для этого построим графики функций f'(x) и g'(x) на заданном промежутке. Мы ищем пересечения этих графиков, так как каждое пересечение соответствует корню уравнения.

Шаг 7: Определяем количество корней.

Графически определим, сколько раз график функции f'(x) пересекает график функции g'(x) на интервале от 0 до 1,5π. Это количество и будет искомым числом корней уравнения f'(x) = g'(x) на данном промежутке.

Таким образом, для окончательного ответа необходимо провести графический анализ или использовать численные методы, чтобы точно определить количество пересечений. Обычно это делается с помощью графических калькуляторов или программного обеспечения для построения графиков.