Чтобы определить точки максимума функции y = x² ln x, необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции, ее анализ и нахождение критических точек. Рассмотрим процесс подробнее:

1. Найдем производную функции.

   Для начала, нужно применить правило произведения, так как функция y является произведением двух функций: u = x² и v = ln x. Производная y будет вычисляться по формуле:

   y' = u'v + uv'

   • u' = 2x (производная x²)
   • v' = 1/x (производная ln x)

   Теперь подставим найденные производные:

   y' = (2x)(ln x) + (x²)(1/x) = 2x ln x + x

2. Найдем критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

   2x ln x + x = 0

   Можно вынести x за скобки:

   x(2 ln x + 1) = 0

   • Первое решение: x = 0 (но ln(0) не определен, поэтому это не подходит).
   • Второе решение: 2 ln x + 1 = 0, откуда ln x = -1, что дает x = e^(-1) = 1/e.
3. Определим, является ли найденная точка максимумом.

   Для этого используем второй производный тест. Найдем вторую производную:

   y'' = d/dx(2x ln x + x) = 2 ln x + 2 + 1 = 2 ln x + 3.

   Теперь подставим x = 1/e:

   y''(1/e) = 2 ln(1/e) + 3 = 2(-1) + 3 = 1.

   Так как y''(1/e) > 0, это значит, что в точке x = 1/e функция имеет минимум.

4. Анализируем поведение функции.

   Функция y = x² ln x имеет минимум в точке x = 1/e, но для нахождения максимума можно проанализировать границы. При x → 0+ функция стремится к 0, а при x → ∞ функция также стремится к ∞. Таким образом, максимум не существует в области определения функции.

Таким образом, мы определили, что у функции y = x² ln x нет точек максимума, а есть только точка минимума в x = 1/e.