Как определить точки максимума и минимума для функции f(x)=-x^3+6x^2 + 15x+1?

Алгебра 11 класс Производная и экстремумы функции определение точек максимума точки минимума функции f(x)=-x^3+6x^2+15x+1 алгебра 11 класс анализ функции производная функции экстремумы функции Новый

Чтобы определить точки максимума и минимума функции f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x + 1, необходимо выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и анализом её знака.

1. Найти первую производную функции f(x).

   Первая производная f'(x) показывает, как изменяется функция f(x) в зависимости от x. Для данной функции:

   f'(x) = -3x^2 + 12x + 15.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

   -3x^2 + 12x + 15 = 0.

   Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

   3x^2 - 12x - 15 = 0.

   Теперь можно использовать дискриминант для решения квадратного уравнения:

   D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 3 * (-15) = 144 + 180 = 324.

   Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:

   x1 = (12 + sqrt(324)) / (2 * 3) = (12 + 18) / 6 = 5.

   x2 = (12 - sqrt(324)) / (2 * 3) = (12 - 18) / 6 = -1.

3. Определить тип критических точек.

   Для этого нужно найти вторую производную функции:

   f''(x) = -6x + 12.

   Теперь подставим найденные критические точки:

   • Для x = 5:

     f''(5) = -6 * 5 + 12 = -30 + 12 = -18.

     Так как f''(5) < 0, это означает, что в точке x = 5 находится максимум.

   • Для x = -1:

     f''(-1) = -6 * (-1) + 12 = 6 + 12 = 18.

     Так как f''(-1) > 0, это означает, что в точке x = -1 находится минимум.

4. Записать результаты.

   Таким образом, мы нашли:

   • Точка максимума: x = 5.
   • Точка минимума: x = -1.

Теперь вы знаете, как определить точки максимума и минимума функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!