Как определить вектор c, который перпендикулярен векторам a(2;3;-1) и b(1;-2;3), и какое скалярное произведение этого вектора с вектором p=2i-j+k равно -6?

Алгебра 11 класс Скалярное произведение и векторы в пространстве вектор c перпендикулярен векторам a и b скалярное произведение векторы алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти вектор c, который перпендикулярен векторам a и b, а также удовлетворяет условию скалярного произведения с вектором p, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем вектор c, перпендикулярный векторам a и b.

Векторы a и b заданы как:

• a = (2, 3, -1)
• b = (1, -2, 3)

Чтобы найти вектор c, перпендикулярный обоим векторам, мы можем использовать векторное произведение a и b. Векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве определяется следующим образом:

c = a × b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)

Подставим значения:

• a1 = 2, a2 = 3, a3 = -1
• b1 = 1, b2 = -2, b3 = 3

Теперь вычислим компоненты вектора c:

1. c1 = 3 * 3 - (-1) * (-2) = 9 - 2 = 7
2. c2 = (-1) * 1 - 2 * 3 = -1 - 6 = -7
3. c3 = 2 * (-2) - 3 * 1 = -4 - 3 = -7

Таким образом, вектор c равен:

• c = (7, -7, -7)

Шаг 2: Найдем скалярное произведение вектора c с вектором p.

Вектор p задан как:

• p = (2, -1, 1)

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

c · p = c1 * p1 + c2 * p2 + c3 * p3

Подставим значения:

1. c · p = 7 * 2 + (-7) * (-1) + (-7) * 1
2. c · p = 14 + 7 - 7 = 14

Скалярное произведение равно 14, но нам нужно, чтобы оно было равно -6.

Шаг 3: Найдем нужный вектор c.

Пусть c' = k * c, где k - некоторый коэффициент. Тогда:

c' · p = k * (c · p) = k * 14

Чтобы получить -6, у нас есть уравнение:

k * 14 = -6

Отсюда:

k = -6 / 14 = -3 / 7

Теперь найдем вектор c':

• c' = (-3/7) * (7, -7, -7) = (-3, 3, 3)

Таким образом, вектор c', который перпендикулярен векторам a и b, и скалярное произведение которого с вектором p равно -6, равен:

• c' = (-3, 3, 3)