Чтобы преобразовать данные выражения в произведение, мы будем использовать формулы для разности и суммы синусов и косинусов. Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности.

Мы можем использовать формулу для разности синусов:

sin A - sin B = 2 * cos((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

В нашем случае:

• A = 100°,
• B = 40°.

Теперь подставим значения:

• A + B = 100° + 40° = 140°
• A - B = 100° - 40° = 60°

Теперь подставим в формулу:

sin 100° - sin 40° = 2 * cos(140°/2) * sin(60°/2) = 2 * cos(70°) * sin(30°).

Так как sin 30° = 1/2, получаем:

sin 100° - sin 40° = 2 * cos(70°) * (1/2) = cos(70°).

Для суммы косинусов используем следующую формулу:

cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Где:

• A = 3a,
• B = 11a.

Теперь подставим значения:

• A + B = 3a + 11a = 14a
• A - B = 3a - 11a = -8a

Теперь подставим в формулу:

cos 3a + cos 11a = 2 * cos(14a/2) * cos(-8a/2) = 2 * cos(7a) * cos(-4a).

Так как cos(-x) = cos(x), получаем:

cos 3a + cos 11a = 2 * cos(7a) * cos(4a).

Снова используем формулу для суммы косинусов:

cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Где:

• A = 2a,
• B = 8a.

Подставим значения:

• A + B = 2a + 8a = 10a
• A - B = 2a - 8a = -6a

Теперь подставим в формулу:

cos 2a + cos 8a = 2 * cos(10a/2) * cos(-6a/2) = 2 * cos(5a) * cos(-3a).

Так как cos(-x) = cos(x), получаем:

cos 2a + cos 8a = 2 * cos(5a) * cos(3a).

Таким образом, мы получили следующие преобразования:

• sin 100° - sin 40° = cos(70°);
• cos 3a + cos 11a = 2 * cos(7a) * cos(4a);
• cos 2a + cos 8a = 2 * cos(5a) * cos(3a).