Как проверить линейную зависимость векторов: 1, tan x, cot x на промежутке (0; π/2)?

Алгебра 11 класс Линейная зависимость векторов линейная зависимость векторов проверка линейной зависимости векторы tan x cot x промежуток (0; π/2) алгебра 11 класс Новый

Чтобы проверить линейную зависимость векторов 1, tan x и cot x на промежутке (0; π/2), нам нужно определить, можно ли выразить один из векторов через линейную комбинацию других. Векторы считаются линейно зависимыми, если существует ненулевая комбинация этих векторов, равная нулю.

Рассмотрим векторы:

• v1 = 1
• v2 = tan x
• v3 = cot x

Линейная комбинация этих векторов имеет вид:

c1 * 1 + c2 * tan x + c3 * cot x = 0

где c1, c2 и c3 - некоторые скаляры.

Теперь мы можем проанализировать, можно ли выразить один из векторов через другие:

1. Обратите внимание, что cot x = 1/tan x. Это значит, что cot x можно выразить через tan x.
2. Таким образом, мы можем переписать векторы как:
• v1 = 1
• v2 = tan x
• v3 = 1/tan x
3. Теперь выразим cot x через tan x:

cot x = 1/tan x

4. Это означает, что векторы 1 и tan x могут быть использованы для выражения cot x. Следовательно, мы можем записать:

c1 * 1 + c2 * tan x + c3 * (1/tan x) = 0

Теперь, если мы выберем c2 = 1, c3 = -1, а c1 = 0, то получим:

0 * 1 + 1 * tan x - 1 * cot x = 0

Таким образом, у нас есть ненулевая линейная комбинация, которая равна нулю, что подтверждает, что векторы 1, tan x и cot x линейно зависимы на промежутке (0; π/2).

В заключение, векторы 1, tan x и cot x линейно зависимы, так как cot x можно выразить через tan x, что и доказывает их зависимость.