Как проверить, выполняется ли неравенство треугольников для векторов a(1,2,3), b(-1,0,3) и c(2,3,0)?

Алгебра 11 класс Неравенства треугольников для векторов неравенство треугольников векторы проверка неравенства алгебра 11 класс векторная алгебра Новый

Чтобы проверить, выполняется ли неравенство треугольников для векторов a, b и c, нам нужно проверить три условия:

• Длина вектора a + длина вектора b >= длина вектора c
• Длина вектора a + длина вектора c >= длина вектора b
• Длина вектора b + длина вектора c >= длина вектора a

Сначала найдем длины векторов a, b и c. Длина вектора определяется по формуле:

||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + v3^2),

где v1, v2, v3 - компоненты вектора.

Теперь найдем длины каждого из векторов:

1. Для вектора a(1, 2, 3):

||a|| = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14).

2. Для вектора b(-1, 0, 3):

||b|| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + 3^2) = sqrt(1 + 0 + 9) = sqrt(10).

3. Для вектора c(2, 3, 0):

||c|| = sqrt(2^2 + 3^2 + 0^2) = sqrt(4 + 9 + 0) = sqrt(13).

Теперь мы имеем:

• ||a|| = sqrt(14)
• ||b|| = sqrt(10)
• ||c|| = sqrt(13)

Теперь проверим неравенства:

1. Проверим первое неравенство:

||a|| + ||b|| >= ||c||:

sqrt(14) + sqrt(10) >= sqrt(13).

2. Проверим второе неравенство:

||a|| + ||c|| >= ||b||:

sqrt(14) + sqrt(13) >= sqrt(10).

3. Проверим третье неравенство:

||b|| + ||c|| >= ||a||:

sqrt(10) + sqrt(13) >= sqrt(14).

Теперь, чтобы упростить проверку, можно использовать численные значения:

• sqrt(14) ≈ 3.74
• sqrt(10) ≈ 3.16
• sqrt(13) ≈ 3.61

Теперь подставим эти значения в неравенства:

1. 3.74 + 3.16 >= 3.61 (7.90 >= 3.61) - верно.
2. 3.74 + 3.61 >= 3.16 (7.35 >= 3.16) - верно.
3. 3.16 + 3.61 >= 3.74 (6.77 >= 3.74) - верно.

Все три неравенства выполняются, следовательно, неравенство треугольников для векторов a, b и c выполняется.