Как провести полное исследование функции и построить график для уравнения: y=12x/(9+x^2)?

Алгебра 11 класс Полное исследование функции исследование функции построение графика уравнение алгебра 11 класс математический анализ Новый

Чтобы провести полное исследование функции y = 12x / (9 + x^2) и построить ее график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции

Область определения функции — это множество значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае знаменатель не должен равняться нулю:

• 9 + x^2 ≠ 0.

Так как x^2 всегда неотрицательно, выражение 9 + x^2 всегда положительно. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, то есть:

x ∈ R.

2. Нахождение пределов функции

Теперь найдем пределы функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• lim (x → ∞) y = lim (x → ∞) 12x / (9 + x^2) = 0, так как степень в знаменателе больше степени в числителе.
• lim (x → -∞) y = lim (x → -∞) 12x / (9 + x^2) = 0, аналогично предыдущему случаю.

3. Нахождение производной

Для нахождения критических точек, где функция может иметь экстремумы, найдем производную y:

• y' = (12(9 + x^2) - 12x(2x)) / (9 + x^2)^2 = (108 - 12x^2) / (9 + x^2)^2.

Теперь приравняем производную к нулю:

• 108 - 12x^2 = 0.
• 12x^2 = 108.
• x^2 = 9.
• x = ±3.

Таким образом, критические точки: x = 3 и x = -3.

4. Анализ знаков производной

Теперь определим, где функция возрастает, а где убывает:

• Для x < -3, y' > 0 (функция возрастает).
• Для -3 < x < 3, y' < 0 (функция убывает).
• Для x > 3, y' > 0 (функция возрастает).

Таким образом, у нас есть максимум в точке x = -3 и минимум в точке x = 3.

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-3) = 12(-3) / (9 + 9) = -18 / 18 = -1.
• y(3) = 12(3) / (9 + 9) = 36 / 18 = 2.

6. Нахождение асимптот

У функции есть горизонтальная асимптота, так как при x стремящемся к бесконечности y стремится к 0. Вертикальных асимптот нет, так как область определения — все действительные числа.

7. Построение графика функции

Теперь, имея всю информацию, можно построить график функции:

• Точка максимума: (-3, -1).
• Точка минимума: (3, 2).
• Горизонтальная асимптота: y = 0.

График будет выглядеть следующим образом:

• Функция убывает от -∞ до -3 и достигает максимума (-3, -1).
• Затем функция убывает от -1 до 3 и достигает минимума (3, 2).
• После 3 функция снова возрастает и стремится к 0 при x → ∞.

Теперь вы можете построить график функции, используя полученные данные. Удачи!