Для решения дроби (cos 2x + √2 cos x + 1)/(tg x - 1) и нахождения корней уравнения на отрезке [3π/2; 3π], следуем следующим шагам:

1. Упрощение числителя:
• Используем формулу для косинуса двойного угла: cos 2x = 2 cos² x - 1.
• Подставляем это в числитель: 2 cos² x - 1 + √2 cos x + 1.
• Упрощаем: 2 cos² x + √2 cos x.
2. Упрощение знаменателя:
• Заменяем тангенс: tg x = sin x / cos x.
• Значит, tg x - 1 = sin x / cos x - 1 = (sin x - cos x) / cos x.
3. Записываем дробь:
• Теперь дробь выглядит так: (2 cos² x + √2 cos x) / ((sin x - cos x) / cos x).
• Умножаем числитель и знаменатель на cos x: (2 cos³ x + √2 cos² x) / (sin x - cos x).

Теперь нам нужно решить уравнение:

(2 cos³ x + √2 cos² x) = 0.

1. Вынесем общий множитель:
• Вынесем cos² x: cos² x (2 cos x + √2) = 0.
2. Решаем уравнение:
• cos² x = 0 дает cos x = 0, что означает x = π/2 + kπ, где k – целое число.
• На отрезке [3π/2; 3π] это значение x = 3π/2.
• 2 cos x + √2 = 0 приводит к cos x = -√2/2, что дает x = 3π/4 + kπ.
• На отрезке [3π/2; 3π] это значение x = 5π/4.

Итак, корни уравнения на отрезке [3π/2; 3π]:

• x = 3π/2
• x = 5π/4

Подводя итог, мы нашли все корни уравнения, которые принадлежат данному отрезку. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!