Чтобы решить дробно-иррациональное уравнение x² - 3x + 2√(x² - 3x) = 0, следуем следующим шагам:

1. Обозначим подкоренное выражение. Пусть y = √(x² - 3x). Тогда y² = x² - 3x.
2. Подставим это обозначение в уравнение. У нас получится:
• x² - 3x + 2y = 0.
3. Теперь выразим x² - 3x через y. Мы знаем, что y² = x² - 3x, значит:
• x² - 3x = y².
4. Подставим это обратно в уравнение:
• y² + 2y = 0.
5. Решим это квадратное уравнение. Вынесем y за скобки:
• y(y + 2) = 0.
6. Решения:
• y = 0
• y + 2 = 0, то есть y = -2.
7. Теперь вернемся к нашему обозначению. Мы знаем, что y = √(x² - 3x). Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, мы отбрасываем решение y = -2.
8. Теперь решим уравнение для y = 0:
• √(x² - 3x) = 0.
• Следовательно, x² - 3x = 0.
9. Вынесем x за скобки:
• x(x - 3) = 0.
10. Решения:
• x = 0
• x - 3 = 0, то есть x = 3.
11. Проверим найденные корни в исходном уравнении:
• Для x = 0:
• 0² - 3*0 + 2√(0² - 3*0) = 0 + 0 = 0. Уравнение выполняется.
• Для x = 3:
• 3² - 3*3 + 2√(3² - 3*3) = 9 - 9 + 2*0 = 0. Уравнение выполняется.
12. Ответ: Уравнение имеет два корня: x = 0 и x = 3.