Как решить неравенство: 9^x - 8*3^x + 12 > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями и степенями решение неравенств алгебра 11 класс неравенство 9^x 8*3^x алгебраические задачи Новый

Чтобы решить неравенство 9^x - 8*3^x + 12 > 0, начнем с преобразования выражения. Обратите внимание, что 9^x можно записать как (3^2)^x = (3^x)^2. Введем замену: y = 3^x. Тогда неравенство примет вид:

y^2 - 8y + 12 > 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего уравнения:

y^2 - 8y + 12 = 0

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -8, c = 12.
• Подставляем значения: D = (-8)^2 - 4*1*12 = 64 - 48 = 16.
• Поскольку D > 0, уравнение имеет два различных корня.

Теперь найдем сами корни:

• y1 = (8 + √D) / 2 = (8 + 4) / 2 = 12 / 2 = 6
• y2 = (8 - √D) / 2 = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2

Теперь у нас есть два корня: y1 = 6 и y2 = 2. Эти корни разделяют числовую ось на три интервала:

• (-∞, 2)
• (2, 6)
• (6, +∞)

Теперь необходимо определить знак выражения y^2 - 8y + 12 на каждом из этих интервалов. Для этого можно взять тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 2): пусть y = 0. Тогда 0^2 - 8*0 + 12 = 12 > 0.
• Для интервала (2, 6): пусть y = 4. Тогда 4^2 - 8*4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 < 0.
• Для интервала (6, +∞): пусть y = 7. Тогда 7^2 - 8*7 + 12 = 49 - 56 + 12 = 5 > 0.

Теперь мы можем записать, где неравенство выполняется:

y^2 - 8y + 12 > 0

выполняется на интервалах (-∞, 2) и (6, +∞).

Теперь не забудем, что мы вводили замену y = 3^x. Теперь вернемся к переменной x:

1. Для y < 2: 3^x < 2 означает, что x < log3(2).

2. Для y > 6: 3^x > 6 означает, что x > log3(6).

Итак, окончательный ответ на неравенство:

x < log3(2) или x > log3(6).

1 2 3 4 5