Чтобы решить неравенство log√(1/2)(3x + 2 - 9x) ≥ -6, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Упростим выражение внутри логарифма:

• Сначала упростим 3x + 2 - 9x:
  • 3x - 9x = -6x
  • Таким образом, у нас остается -6x + 2.

Теперь неравенство выглядит так:

2. Перепишем логарифм с основанием √(1/2) в более удобной форме:

• Помним, что log√(1/2)(a) = log(1/2)(a) / log(1/2)(√(1/2)).
• Так как логарифм с основанием √(1/2) равен -2 (поскольку √(1/2) = (1/2)^(1/2)), мы можем переписать неравенство как:
log(1/2)(-6x + 2) / (-1/2) ≥ -6

3. Умножим обе стороны на -2 (не забываем, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется):

4. Теперь преобразуем неравенство с логарифмом:

• По определению логарифма, log(1/2)(a) ≤ b означает, что a ≥ (1/2)^b.
• В нашем случае это будет:
-6x + 2 ≥ (1/2)^(12)

5. Вычислим (1/2)^(12):

• (1/2)^(12) = 1/(2^12) = 1/4096.

Теперь наше неравенство принимает вид:

6. Переносим 2 на правую сторону:

7. Приведем к общему знаменателю:

• 2 = 2 * 4096/4096 = 8192/4096.
• Таким образом, 1/4096 - 8192/4096 = -8191/4096.

Теперь неравенство выглядит так:

8. Умножим обе стороны на -1 (меняем знак неравенства):

9. Делим обе стороны на 6:

10. Упростим дробь:

• 8191/24576.

Таким образом, решение неравенства:

11. Не забудьте проверить, что выражение внутри логарифма -6x + 2 должно быть положительным:

• -6x + 2 > 0
• 6x < 2
• x < 1/3.

Итак, окончательное решение:

Таким образом, ответ: x ≤ min(8191/24576, 1/3).