Как решить неравенство с логарифмами: log_0,1 log_2((x^2+1)/|x-1|) < 0?

Алгебра 11 класс Логарифмы и неравенства решение неравенства логарифмы алгебра 11 класс log_0,1 log_2 неравенство с логарифмами x^2+1 |x-1| математический анализ учебник алгебры Новый

Чтобы решить неравенство log_0,1 log₂((x²+1)/|x-1|) < 0, давайте сначала разберемся с логарифмами и условиями, которые они накладывают.

1. **Определим область определения логарифма.**

• Для логарифма log₂((x²+1)/|x-1|) необходимо, чтобы аргумент был положительным: (x²+1)/|x-1| > 0.
• Поскольку x²+1 всегда положительно (так как x² всегда неотрицательно и прибавляется единица), нужно только, чтобы |x-1| > 0. Это означает, что x ≠ 1.

2. **Рассмотрим неравенство.**

Неравенство log_0,1 log₂((x²+1)/|x-1|) < 0 означает, что log₂((x²+1)/|x-1|) > 1, так как логарифм с основанием меньше 1 меняет знак.

3. **Решим неравенство log₂((x²+1)/|x-1|) > 1.**

• Это неравенство эквивалентно: (x²+1)/|x-1| > 2.
• Умножим обе стороны на |x-1| (учитывая, что |x-1| > 0): x² + 1 > 2|x-1|.

4. **Решим это неравенство в двух случаях: когда x-1 >= 0 и x-1 < 0.**

Случай 1: x - 1 >= 0 (т.е. x >= 1).

• В этом случае |x-1| = x-1.
• Неравенство становится: x² + 1 > 2(x - 1).
• Упрощаем: x² + 1 > 2x - 2 или x² - 2x + 3 > 0.
• Дискриминант этого квадратного уравнения: D = (-2)² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8, что говорит о том, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.
• Следовательно, x² - 2x + 3 > 0 для всех x, включая x >= 1.

Случай 2: x - 1 < 0 (т.е. x < 1).

• В этом случае |x-1| = -(x-1) = 1 - x.
• Неравенство становится: x² + 1 > 2(1 - x).
• Упрощаем: x² + 1 > 2 - 2x или x² + 2x - 1 > 0.
• Найдем дискриминант: D = 2² - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8.
• Корни: x_1,2 = (-2 ± √8)/2 = -1 ± √2. Это два корня: x₁ = -1 - √2 и x₂ = -1 + √2.
• Неравенство x² + 2x - 1 > 0 выполняется вне интервала (-1 - √2, -1 + √2).

5. **Объединим результаты.**

• Для x >= 1 неравенство выполняется всегда.
• Для x < 1 неравенство выполняется, если x < -1 - √2 или x > -1 + √2.

6. **Итоговое решение:**

Ответ: x < -1 - √2 или x >= 1.