Как решить неравенство, в котором дробь с числителем (х+1) * х в квадрате и знаменателем 5х - х в квадрате больше или равно 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с дробями решение неравенства дробь с числителем алгебра 11 класс неравенство больше или равно 0 (х+1)*х^2 5х-х^2 Новый

Для решения неравенства, которое имеет вид:

(х + 1) * х^2 / (5х - х^2) ≥ 0,

нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

Сначала определим, когда числитель равен нулю:

• (х + 1) * х^2 = 0.

Это уравнение равно нулю, если:

Таким образом, нули числителя: х = -1 и х = 0.

Теперь найдем, когда знаменатель равен нулю:

• 5х - х^2 = 0.

Это уравнение можно переписать как:

• х^2 - 5х = 0,

которое можно факторизовать:

• х(х - 5) = 0.

Таким образом, нули знаменателя: х = 0 и х = 5.

Шаг 2: Определим критические точки.

Критическими точками будут значения х, при которых числитель или знаменатель равны нулю:

• х = -1 (нулевой числитель),
• х = 0 (нулевой числитель и знаменатель),
• х = 5 (нулевой знаменатель).

Шаг 3: Построим числовую прямую.

Теперь мы можем построить числовую прямую и отметить на ней критические точки:

• (-∞, -1),
• (-1, 0),
• (0, 5),
• (5, +∞).

Шаг 4: Определим знаки в каждом интервале.

Теперь нужно проверить знак дроби в каждом из интервалов. Для этого выберем тестовые точки:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем х = -2. Подставляем в дробь: (х + 1)(х^2) / (5х - х^2) = (-2 + 1)(-2)^2 / (5*(-2) - (-2)^2) = (-1)(4) / (-10 - 4) = -4 / -14 > 0.
• Для интервала (-1, 0): возьмем х = -0.5. Подставляем: (х + 1)(х^2) / (5х - х^2) = (0.5)(0.25) / (5*(-0.5) - (-0.5)^2) = (0.125) / (-2.5 - 0.25) = 0.125 / -2.75 < 0.
• Для интервала (0, 5): возьмем х = 1. Подставляем: (1 + 1)(1^2) / (5*1 - 1^2) = (2)(1) / (5 - 1) = 2 / 4 > 0.
• Для интервала (5, +∞): возьмем х = 6. Подставляем: (6 + 1)(6^2) / (5*6 - 6^2) = (7)(36) / (30 - 36) = 252 / -6 < 0.

Шаг 5: Записываем итоговые интервалы.

Теперь мы знаем знаки в каждом интервале:

• (-∞, -1) > 0,
• (-1, 0) < 0,
• (0, 5) > 0,
• (5, +∞) < 0.

Шаг 6: Учитываем условия неравенства.

Неравенство требует, чтобы дробь была больше или равна нулю. Значит, мы включаем нули числителя:

• х = -1 (включаем),
• х = 0 (не включаем, так как здесь знаменатель равен нулю),
• х = 5 (не включаем, так как здесь также знаменатель равен нулю).

Итог:

Решение неравенства:

х ∈ (-∞, -1] ∪ (0, 5).